人教课标版小学数学九年级下册全册教案

不想再卡 · 发表于 2011-10-12 11:14:50

.第二十六章  二次函数
[本章知识重点]
1．探索具体问题中的数量关系和变化规律．
2．结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义，并了解二次函数的有关概念．
3．会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质．
4．会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴．
5．会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解．
6．会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题．

26．1    二次函数
[本课知识重点]
通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义．
[MM及创新思维]
（1）正方形边长为a（cm），它的面积s（cm2）是多少？
（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x厘米，则面积增加y平方厘米，试写出y与x的关系式．
请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义．
[实践与探索]
例1． m取哪些值时，函数是以x为自变量的二次函数？
分析  若函数是二次函数，须满足的条件是：．
解  若函数是二次函数，则
               ．
解得             ，且．
因此，当，且时，函数是二次函数．
回顾与反思  形如的函数只有在的条件下才是二次函数．
探索  若函数是以x为自变量的一次函数，则m取哪些值？
例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．
（1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm）之间的函数关系；
（2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；
（3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y（元）与所存年数x之间的函数关系；
（4）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系．
解  （1）由题意，得，其中S是a的二次函数；
（2）由题意，得，其中y是x的二次函数；
（3）由题意，得（x≥0且是正整数），
其中y是x的一次函数；
（4）由题意，得，其中S是x的二次函数．
例3．正方形铁片边长为15cm，在四个角上各剪去一个边长为x（cm）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．
(1)求盒子的表面积S（cm2）与小正方形边长x（cm）之间的函数关系式；
(2)当小正方形边长为3cm时，求盒子的表面积．
解  （1）；
（2）当x=3cm时，（cm2）．
[当堂课内练习]
1．下列函数中，哪些是二次函数？
（1）（2）
（3）             （4）
2．当k为何值时，函数为二次函数？
3．已知正方形的面积为，周长为x（cm）．
(1)请写出y与x的函数关系式；
(2)判断y是否为x的二次函数．
[本课课外作业]
A组
1．已知函数是二次函数，求m的值．
2．已知二次函数，当x=3时，y= -5，当x= -5时，求y的值．
3．已知一个圆柱的高为27，底面半径为x，求圆柱的体积y与x的函数关系式．若圆柱的底面半径x为3，求此时的y．
4．用一根长为40 cm的铁丝围成一个半径为r的扇形，求扇形的面积y与它的半径x之间的函数关系式．这个函数是二次函数吗？请写出半径r的取值范围．
B组
5．对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是                         （）
A．    B．    C．    D．
6．下列函数关系中，可以看作二次函数（）模型的是（）
A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系
B．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系
C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）
D．圆的周长与圆的半径之间的关系
[本课学习体会]

§26.2  用函数观点看一元二次方程（第一课时）
教学目标
(一)知识与技能
1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．
2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根．
3．理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标．
(二)过程与方法
1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神．
2．通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想．
3．通过学生共同观察和讨论．培养大家的合作交流意识．
(三)情感态度与价值观
1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造．感受数学的严谨性以及数学结论的确定性，
2．具有初步的创新精神和实践能力．
教学重点
1．体会方程与函数之间的联系．
2．理解何时方程有两个不等的实根，两个相等的实数和没有实根．
3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标．
教学难点
1．探索方程与函数之间的联系的过程．
2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系．
教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
1.我们学习了一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函数y＝kx+b(k≠0)后，讨论了它们之间的关系．当一次函数中的函数值y=0时，一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0，且一次函数)y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b＝0的解．
现在我们学习了一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)和二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)，它们之间是否也存在一定的关系呢?
2.选教材提出的问题，直接引入新课
Ⅱ．合作交流  解读探究
1.二次函数与一元二次方程之间的关系
探究：教材问题
师生同步完成.
观察：教材22页，学生小组交流.
归纳：先由学生完成，然后师生评价，最后教师归纳.
Ⅲ.应用迁移  巩固提高
1 .根据二次函数图像看一元二次方程的根
   同期声
2 .抛物线与x轴的交点情况求待定系数的范围.
3 .根据一元二次方程根的情况来判断抛物线与x轴的交点情况
Ⅳ．总结反思  拓展升华
本节课学了如下内容：
1．经历了探索二次函数与一元：二次方程的关系的过程，体会了方程与函数之间的联系．
2．理解了二次函数与x轴交点的个数
与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解了何时方程有两个不等的实根,两个相等的实根和没有实根.
3.数学方法:分类讨论和数形结合.
反思：在判断抛物线与x轴的交点情况时，和抛物线中的二次项系数的正负有无关系？
拓展：教案
Ⅴ．课后作业P231.3.5

26．2    二次函数的图象与性质（1）
[本课知识重点]
会用描点法画出二次函数的图象，概括出图象的特点及函数的性质．
[MM及创新思维]
我们已经知道，一次函数，反比例函数的图象分别是          、
         ，那么二次函数的图象是什么呢？
（1）描点法画函数的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x取互为相反数的值时，y的值如何？
（2）观察函数的图象，你能得出什么结论？
[实践与探索]
例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？
（1）（2）
解  列表
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …

… 18 8 2 0 2 8 18 …

… -18 -8 -2 0 -2 -8 -18 …
分别描点、连线，画出这两个函数的图象，这两个函数的图象都是抛物线，如图26．2．1．
共同点：都以y轴为对称轴，顶点都在坐标原点．
不同点：的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升．
   的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降．
回顾与反思  在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接．
例2．已知是二次函数，且当时，y随x的增大而增大．
（1）求k的值；
（2）求顶点坐标和对称轴．
解  （1）由题意，得，  解得k=2．
（2）二次函数为，则顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴．
例3．已知正方形周长为Ccm，面积为S cm2．
（1）求S和C之间的函数关系式，并画出图象；
（2）根据图象，求出S=1 cm2时，正方形的周长；
（3）根据图象，求出C取何值时，S≥4 cm2．
分析  此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C的取值应在取值范围内．
解  （1）由题意，得．
列表：
C 2 4 6 8 …

1
4 …
描点、连线，图象如图26．2．2．
（2）根据图象得S=1 cm2时，正方形的周长是4cm．
（3）根据图象得，当C≥8cm时，S≥4 cm2．
回顾与反思
（1）此图象原点处为空心点．
（2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C、S，不要习惯地写成x、y．
（3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分．
[当堂课内练习]
1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并分别写出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．
（1）          （2）          （3）
2．（1）函数的开口    ，对称轴是       ，顶点坐标是       ；
（2）函数的开口    ，对称轴是       ，顶点坐标是       ．
3．已知等边三角形的边长为2x，请将此三角形的面积S表示成x的函数，并画出图象的草图．
[本课课外作业]
A组
1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．
（1）          （2）
2．填空：
（1）抛物线，当x=    时，y有最    值，是    ．
（2）当m=    时，抛物线开口向下．
（3）已知函数是二次函数，它的图象开口    ，当x    时，y随x的增大而增大．
3．已知抛物线中，当时，y随x的增大而增大．
（1）求k的值；  （2）作出函数的图象（草图）．
4．已知抛物线经过点（1，3），求当y=9时，x的值．
B组
5．底面是边长为x的正方形，高为0．5cm的长方体的体积为ycm3．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）根据图象，求出y=8 cm3时底面边长x的值；（4）根据图象，求出x取何值时，y≥4．5 cm3．
6．二次函数与直线交于点P（1，b）．
（1）求a、b的值；
（2）写出二次函数的关系式，并指出x取何值时，该函数的y随x的增大而减小．
7．一个函数的图象是以原点为顶点，y轴为对称轴的抛物线，且过M（-2，2）．
（1）求出这个函数的关系式并画出函数图象；
（2）写出抛物线上与点M关于y轴对称的点N的坐标，并求出⊿MON的面积．
[本课学习体会]

26．2  二次函数的图象与性质（2）
[本课知识重点]
会画出这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．
[MM及创新思维]
同学们还记得一次函数与的图象的关系吗？
         ，你能由此推测二次函数与的图象之间的关系吗？
                           ，那么与的图象之间又有何关系？
                              ．
[实践与探索]
例1．在同一直角坐标系中，画出函数与的图象．
解  列表．
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …

… 18 8 2 0 2 8 18 …

… 20 10 4 2 4 10 20 …

描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．3所示．

回顾与反思  当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？
探索  观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？又有哪些不同？你能由此说出函数与的图象之间的关系吗？
例2．在同一直角坐标系中，画出函数与的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线．
解  列表．
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …

… -8 -3 0 1 0 -3 -8 …

… -10 -5 -2 -1 -2 -5 -10 …

描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．4所示．

可以看出，抛物线是由抛物线向下平移两个单位得到的．
回顾与反思  抛物线和抛物线分别是由抛物线向上、向下平移一个单位得到的．
探索  如果要得到抛物线，应将抛物线作怎样的平移？
例3．一条抛物线的开口方向、对称轴与相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过点（1，1），求这条抛物线的函数关系式．
解  由题意可得，所求函数开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为（0，-2），
因此所求函数关系式可看作，  又抛物线经过点（1，1），
所以，，    解得．
故所求函数关系式为．
回顾与反思（a、k是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下：

开口方向对称轴顶点坐标




[当堂课内练习]
1．在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：
，，．
观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置．你能说出抛物线的开口方向及对称轴、顶点的位置吗？
2．抛物线的开口    ，对称轴是       ，顶点坐标是       ，它可以看作是由抛物线向平移个单位得到的．
3．函数，当x    时，函数值y随x的增大而减小．当x    时，函数取得最值，最值y=    ．
[本课课外作业]
A组
1．已知函数，，．
（1）分别画出它们的图象；
（2）说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（3）试说出函数的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标．
2．不画图象，说出函数的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明它是由函数通过怎样的平移得到的．
3．若二次函数的图象经过点（-2，10），求a的值．这个函数有最大还是最小值？是多少？
B组
4．在同一直角坐标系中与的图象的大致位置是( )

5．已知二次函数，当k为何值时，此二次函数以y轴为对称轴？写出其函数关系式．
[本课学习体会]

26．2  二次函数的图象与性质（3）
[本课知识重点]
会画出这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．
[MM及创新思维]
我们已经了解到，函数的图象，可以由函数的图象上下平移所得，那么函数的图象，是否也可以由函数平移而得呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？
[实践与探索]
例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．
，  ，，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．
解  列表．
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …

…      2      0      2      …

…      0      2      8      …

…      8
2      0      …

描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．5所示．

它们的开口方向都向上；对称轴分别是y轴、直线x= -2和直线x=2；顶点坐标分别是
（0，0），（-2，0），（2，0）．
回顾与反思  对于抛物线，当x       时，函数值y随x的增大而减小；当x    时，函数值y随x的增大而增大；当x       时，函数取得最值，最值y=       ．
探索  抛物线和抛物线分别是由抛物线向左、向右平移两个单位得到的．如果要得到抛物线，应将抛物线作怎样的平移？
例2．不画出图象，你能说明抛物线与之间的关系吗?
解  抛物线的顶点坐标为（0，0）；抛物线的顶点坐标为（-2，0）．
因此，抛物线与形状相同，开口方向都向下，对称轴分别是y轴和直线．抛物线是由向左平移2个单位而得的．
回顾与反思（a、h是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下：

开口方向对称轴顶点坐标




[当堂课内练习]
1．画图填空：抛物线的开口    ，对称轴是       ，顶点坐标是       ，它可以看作是由抛物线向平移个单位得到的．
2．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．
，  ，，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．
[本课课外作业]
A组
1．已知函数，，  ．
（1）在同一直角坐标系中画出它们的图象；
（2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（3）分别讨论各个函数的性质．
2．根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线和？
3．函数，当x    时，函数值y随x的增大而减小．当x    时，函数取得最值，最值y=    ．
4．不画出图象，请你说明抛物线与之间的关系．
B组
5．将抛物线向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为 -2，且新抛物线经过点
（1，3），求的值．
[本课学习体会]

26．2  二次函数的图象与性质（4）
[本课知识重点]
1．掌握把抛物线平移至 +k的规律；
2．会画出 +k 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．
[MM及创新思维]
由前面的知识，我们知道，函数的图象，向上平移2个单位，可以得到函数的图象；函数的图象，向右平移3个单位，可以得到函数的图象，那么函数的图象，如何平移，才能得到函数的图象呢？
[实践与探索]
例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．
，，，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．
解  列表．
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …

…
2
0
2
…

… 8
2
0
2 …

… 6
0
-2
0 …

描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．6所示．

它们的开口方向都向    ，对称轴分别为       、       、       ，顶点坐标分别为       、       、       ．请同学们完成填空，并观察三个图象之间的关系．
回顾与反思  二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数 +k中k的值；左右平移，只影响h的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象的平移与平移的顺序无关．
探索  你能说出函数 +k（a、h、k是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？试填写下表．
+k
开口方向对称轴顶点坐标




例2．把抛物线向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线，求b、c的值．
分析  抛物线的顶点为（0，0），只要求出抛物线的顶点，根据顶点坐标的改变，确定平移后的函数关系式，从而求出b、c的值．
解    ．
向上平移2个单位，得到，
再向左平移4个单位，得到，
其顶点坐标是，而抛物线的顶点为（0，0），则

解得
探索  把抛物线向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线，也就意味着把抛物线向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到抛物线．那么，本题还可以用更简洁的方法来解，请你试一试．
[当堂课内练习]
1．将抛物线如何平移可得到抛物线                （    ）
A．向左平移4个单位，再向上平移1个单位
B．向左平移4个单位，再向下平移1个单位
C．向右平移4个单位，再向上平移1个单位
D．向右平移4个单位，再向下平移1个单位
2．把抛物线向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的函数关系式为                   ．
3．抛物线可由抛物线向    平移    个单位，再向    平移    个单位而得到．
[本课课外作业]
A组
1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．
，，，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．
2．将抛物线先向下平移1个单位，再向左平移4个单位，求平移后的抛物线的函数关系式．
3．将抛物线如何平移，可得到抛物线？
B组
4．把抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线，则有                                                 （）
A．b =3，c=7    B．b= -9，c= -15    C．b=3，c=3    D．b= -9，c=21
5．抛物线是由抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到的，求b、c的值．
6．将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，其中h＞0，k＜0，求所得的抛物线的函数关系式．
[本课学习体会]

26．2  二次函数的图象与性质（5）
[本课知识重点]
1．能通过配方把二次函数化成 +k的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标；
2．会利用对称性画出二次函数的图象．
[MM及创新思维]
我们已经发现，二次函数的图象，可以由函数的图象先向平移个单位，再向平移个单位得到，因此，可以直接得出：函数的开口    ，对称轴是       ，顶点坐标是       ．那么，对于任意一个二次函数，如，你能很容易地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象吗？
[实践与探索]
例1．通过配方，确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图．
解

因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标为（1，8）．
由对称性列表：
x … -2 -1 0 1 2 3 4 …

… -10 0 6 8 6 0 -10 …
描点、连线，如图26．2．7所示．

回顾与反思  （1）列表时选值，应以对称轴x=1为中心，函数值可由对称性得到，．
（2）描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点．
探索  对于二次函数，你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？请你完成填空：对称轴          ，顶点坐标                   ．
例2．已知抛物线的顶点在坐标轴上，求的值．
分析  顶点在坐标轴上有两种可能：（1）顶点在x轴上，则顶点的纵坐标等于0；（2）顶点在y轴上，则顶点的横坐标等于0．
解，
则抛物线的顶点坐标是．
当顶点在x轴上时，有，
解得                ．
当顶点在y轴上时，有，
解得                或．
所以，当抛物线的顶点在坐标轴上时，有三个值，分别是 –2，4，8．
[当堂课内练习]
1．（1）二次函数的对称轴是       ．
（2）二次函数的图象的顶点是       ，当x    时，y随x的增大而减小．
（3）抛物线的顶点横坐标是-2，则 =    ．
2．抛物线的顶点是，则、c的值是多少？
[本课课外作业]
A组
1．已知抛物线，求出它的对称轴和顶点坐标，并画出函数的图象．
2．利用配方法，把下列函数写成 +k的形式，并写出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
（1）（2）
（3）          （4）
3．已知是二次函数，且当时，y随x的增大而增大．
（1）求k的值；（2）求开口方向、顶点坐标和对称轴．
B组
4．当时，求抛物线的顶点所在的象限．
5. 已知抛物线的顶点A在直线上，求抛物线的顶点坐标．
[本课学习体会]

26．2  二次函数的图象与性质（6）
[本课知识重点]
1．会通过配方求出二次函数的最大或最小值；
2．在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值．
[MM及创新思维]
在实际生活中，我们常常会碰到一些带有“最”字的问题，如
问题：某商店将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？
在这个问题中，设每件商品降价x元，该商品每天的利润为y元，则可得函数关系式为二次函数．那么，此问题可归结为：自变量x为何值时函数y取得最大值？你能解决吗?
[实践与探索]
例1．求下列函数的最大值或最小值．
（1）；       （2）．
分析  由于函数和的自变量x的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值．
解  （1）二次函数中的二次项系数2＞0，
因此抛物线有最低点，即函数有最小值．
因为 = ，
所以当时，函数有最小值是．
（2）二次函数中的二次项系数-1＜0，
因此抛物线有最高点，即函数有最大值．
因为 = ，
所以当时，函数有最大值是．
回顾与反思  最大值或最小值的求法，第一步确定a的符号，a＞0有最小值，a＜0有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．
探索  试一试，当2．5≤x≤3．5时，求二次函数的最大值或最小值．
例2．某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表：
x（元） 130 150 165
y（件） 70 50 35
若日销售量y是销售价x的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？此时每日销售利润是多少？
分析  日销售利润=日销售量×每件产品的利润，因此主要是正确表示出这两个量．
解  由表可知x+y=200，
因此，所求的一次函数的关系式为．
设每日销售利润为s元，则有
．
因为，所以．
所以，当每件产品的销售价定为160元时，销售利润最大，最大销售利润为1600元．
回顾与反思  解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，再研究所得的函数，得出结果．
例3．如图26．2．8，在Rt⊿ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF，设DE=x，DF=y．
（1）用含y的代数式表示AE；
（2）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；
（3）设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数关系，并求出S的最大值．
解  （1）由题意可知，四边形DECF为矩形，因此
．
（2）由 ∥ ，得，即，
所以，，x的取值范围是．
（3），
所以，当x=2时，S有最大值8．
[当堂课内练习]
1．对于二次函数，当x=    时，y有最小值．
2．已知二次函数有最小值 –1，则a与b之间的大小关系是    （）
A．a＜b       B．a=b       C．a＞b       D．不能确定
3．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？
[本课课外作业]
A组
1．求下列函数的最大值或最小值．
（1）；       （2）．
2．已知二次函数的最小值为1，求m的值．，
3．心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间满足函数关系：．y值越大，表示接受能力越强．
（1）x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？
（2）第10分时，学生的接受能力是多少？
（3）第几分时，学生的接受能力最强？
B组
4．不论自变量x取什么数，二次函数的函数值总是正值，求m的取值范围．
5．如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x m，面积为S m2．
（1）求S与x的函数关系式；
（2）如果要围成面积为45 m2的花圃，AB的长是多少米？
（3）能围成面积比45 m2更大的花圃吗？如果能，请求出
最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．
6．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，线段EF在对角线AC上，EG⊥AD，FH⊥BC，垂足分别是G、H，且EG+FH=EF．
（1）求线段EF的长；
（2）设EG=x，⊿AGE与⊿CFH的面积和为S，
写出S关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，
并求出S的最小值．
[本课学习体会]

26 . 2 二次函数的图象与性质（7）
[本课知识重点]
会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式．
[MM及创新思维]
一般地，函数关系式中有几个独立的系数，那么就需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式．例如：我们在确定一次函数的关系式时，通常需要两个独立的条件：确定反比例函数的关系式时，通常只需要一个条件：如果要确定二次函数的关系式，又需要几个条件呢？
[实践与探索]
例1．某涵洞是抛物线形，它的截面如图26．2．9所示，现测得水面宽1．6m，涵洞顶点O到水面的距离为2．4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？
分析  如图，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立了直角坐标系．这时，涵洞所在的抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式是．此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式．
解  由题意，得点B的坐标为（0．8，-2．4），
又因为点B在抛物线上，将它的坐标代入，得

所以                   ．
因此，函数关系式是．
例2．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．
（1）已知二次函数的图象经过点A（0，-1）、B（1，0）、C（-1，2）；
（2）已知抛物线的顶点为（1，-3），且与y轴交于点（0，1）；
（3）已知抛物线与x轴交于点M（-3，0）、（5，0），且与y轴交于点（0，-3）；
（4）已知抛物线的顶点为（3，-2），且与x轴两交点间的距离为4．
分析  （1）根据二次函数的图象经过三个已知点，可设函数关系式为的形式；（2）根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式为，再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值；（3）根据抛物线与x轴的两个交点的坐标，可设函数关系式为，再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值；（4）根据已知抛物线的顶点坐标（3，-2），可设函数关系式为，同时可知抛物线的对称轴为x=3，再由与x轴两交点间的距离为4，可得抛物线与x轴的两个交点为（1，0）和（5，0），任选一个代入，即可求出a的值．
解  （1）设二次函数关系式为，由已知，这个函数的图象过（0，-1），可以得到c= -1．又由于其图象过点（1，0）、（-1，2）两点，可以得到

解这个方程组，得
a=2，b= -1．
所以，所求二次函数的关系式是．
（2）因为抛物线的顶点为（1，-3），所以设二此函数的关系式为，
又由于抛物线与y轴交于点（0，1），可以得到

解得．
所以，所求二次函数的关系式是．
（3）因为抛物线与x轴交于点M（-3，0）、（5，0），
所以设二此函数的关系式为．
又由于抛物线与y轴交于点（0，3），可以得到
                        ．
解得．
所以，所求二次函数的关系式是．
（4）根据前面的分析，本题已转化为与（2）相同的题型，请同学们自己完成．
回顾与反思  确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式：
（1）一般式：，给出三点坐标可利用此式来求．
（2）顶点式：，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求．
（3）交点式：，给出三点，其中两点为与x轴的两个交点、时可利用此式来求．
[当堂课内练习]
1．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．
（1）已知二次函数的图象经过点（0，2）、（1，1）、（3，5）；
（2）已知抛物线的顶点为（-1，2），且过点（2，1）；
（3）已知抛物线与x轴交于点M（-1，0）、（2，0），且经过点（1，2）．
2．二次函数图象的对称轴是x= -1，与y轴交点的纵坐标是 –6，且经过点（2，10），求此二次函数的关系式．
[本课课外作业]
A组
1．已知二次函数的图象经过点A（-1，12）、B（2，-3），
（1）求该二次函数的关系式；
（2）用配方法把（1）所得的函数关系式化成的形式，并求出该抛物线的顶点坐标和对称轴．
2．已知二次函数的图象与一次函数的图象有两个公共点P（2，m）、Q（n，-8），如果抛物线的对称轴是x= -1，求该二次函数的关系式．
3．某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB=4m，顶部C离地面高度为4．4m．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2．8m，装货宽度为2．4m．请判断这辆汽车能否顺利通过大门．
4．已知二次函数，当x=3时，函数取得最大值10，且它的图象在x轴上截得的弦长为4，试求二次函数的关系式．
B组
5．已知二次函数的图象经过（1，0）与（2，5）两点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)请你换掉题中的部分已知条件，重新设计一个求二次函数解析式的题目，使所求得的二次函数与（1）的相同．
6．抛物线过点（2，4），且其顶点在直线上，求此二次函数的关系式．
[本课学习体会]

26 . 3  实践与探索（1）
[本课知识重点]
会结合二次函数的图象分析问题、解决问题，在运用中体会二次函数的实际意义．
[MM及创新思维]
生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，比如在2004雅典奥运会的赛场上，很多项目，如跳水、铅球、篮球、足球、排球等都与二次函数及其图象息息相关．你知道二次函数在生活中的其它方面的运用吗？
[实践与探索]
例1．如图26．3．1，一位运动员推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是，问此运动员把铅球推出多远？
解  如图，铅球落在x轴上，则y=0，
因此，．
解方程，得（不合题意，舍去）．
所以，此运动员把铅球推出了10米．
探索  此题根据已知条件求出了运动员把铅球推出的实际距离，如果创设另外一个问题情境：一个运动员推铅球，铅球刚出手时离地面 m，铅球落地点距铅球刚出手时相应的地面上的点10m，铅球运行中最高点离地面3m，已知铅球走过的路线是抛物线，求它的函数关系式．你能解决吗？试一试．
例2．如图26．3．2，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2．25m．
（1）若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？
（2）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为3．5m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？（精确到0．1m）
分析  这是一个运用抛物线的有关知识解决实际问题的应用题，首先必须将水流抛物线放在直角坐标系中，如图26．3．3，我们可以求出抛物线的函数关系式，再利用抛物线的性质即可解决问题．
解  （1）以O为原点，OA为y轴建立坐标系．设抛物线顶点为B，水流落水与x轴交点为C（如图26．3．3）．
由题意得，A（0，1．25），B（1，2．25），
因此，设抛物线为．
将A（0，1．25）代入上式，得，
解得
所以，抛物线的函数关系式为．
当y=0时，解得 x=-0．5（不合题意，舍去），x=2．5，
所以C（2．5，0），即水池的半径至少要2．5m．
（2）由于喷出的抛物线形状与（1）相同，可设此抛物线为．
由抛物线过点（0，1．25）和（3．5，0），可求得h= -1．6，k=3．7．
所以，水流最大高度应达3．7m．
[当堂课内练习]
1．在排球赛中，一队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面1．9米，当球飞行距离为9米时达最大高度5．5米，已知球场长18米，问这样发球是否会直接把球打出边线？
2．在一场篮球赛中，队员甲跳起投篮，当球出手时离地高2．5米，与球圈中心的水平距离为7米，当球出手水平距离为4米时到达最大高度4米．设篮球运行轨迹为抛物线，球圈距地面3米，问此球是否投中？
[本课课外作业]
A组
1．在一场足球赛中，一球员从球门正前方10米处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距离是6米时，球到达最高点，此时球高3米，已知球门高2．44米，问能否射中球门？
2．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程．
下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）．
根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；
（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；
（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？
3．如图，一位运动员在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2．5m时，达到最大高度3．5m，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3．05m．
（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的函数关系式；
（2）该运动员身高1．8m，在这次跳投中，球在头顶上方
0．25m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？

                                 B组
4．某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0．4m加设不锈钢管（如图a）做成的立柱，为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员利用图b所示的坐标系进行计算．
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）计算所需不锈钢管立柱的总长度．

5．某跳水运动员在进行10m跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面 m，入水处距池边的距离为4m，同时运动员在距水面高度5m以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势时，否则就会出现失误．
（1）求这条抛物线的函数关系式；
（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为 m，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由．
[本课学习体会]

26 . 3  实践与探索（2）
[本课知识重点]
让学生进一步体验把实际问题转化为有关二次函数知识的过程．
[MM及创新思维]
二次函数的有关知识在经济生活中的应用更为广阔，我们来看这样一个生活中常见的问题：某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形一边长为x米，面积为S平方米．请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用．你能解决它吗？类似的问题，我们都可以通过建立二次函数的数学模型来解决．
[实践与探索]
例1．某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元。物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元。市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克。在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）。设销售单价为x元，日均获利为y元。
（1）求y关于x的二次函数关系式，并注明x的取值范围；
（2）将（1）中所求出的二次函数配方成的形式，写出顶点坐标；在直角坐标系画出草图；观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多，是多少？
分析  若销售单价为x元，则每千克降低（70-x）元，日均多售出2（70-x）千克，日均销售量为[60+2（70-x）]千克，每千克获利为（x-30）元，从而可列出函数关系式。
解  （1）根据题意，得

         (30≤x≤70)。
（2）。
顶点坐标为（65，1950）。二次函数草图略。
经观察可知，当单价定为65元时，日均获利最多，是1950元。

例2。某公司生产的某种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x（十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：
X（十万元） 0 1 2 …
y 1 1．5 1．8 …
（1）求y与x的函数关系式；
（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元）的函数关系式；
（3）如果投入的年广告费为10～30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？
解  （1）设二次函数关系式为。
由表中数据，得  。
解得。
所以所求二次函数关系式为。
（2）根据题意，得。
（3）。
由于1≤x≤3，所以当1≤x≤2。5时，S随x的增大而增大。．
[当堂课内练习]
1．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为了获得最大利润，则应降价                                                                （    ）
A、5元          B、10元          C、15元          D、20元
2．某公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x（万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且，如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（万元）与广告费x（万元）的函数关系式，并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大，最大年利润是是多少万元？
[本课课外作业]
A组
1.某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销得知：这种服装每天的销售量t（件），
与每件的销售价x（元/件）可看成是一次函数关系：t=-3x+204。
（1）写出商场卖这种服装每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系式（每天的销售利润是指所卖出服装的销售价与购进价的差）；
（2）通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适；最大销售利润为多少？
2．某旅社有客房120间，当每间房的日租金为50元时，每天都客满，旅社装修后，要提高租金，经市场调查，如果一间客房日租金增加5元，则客房每天出租数会减少6间，不考虑其他因素，旅社将每间客房日租金提高到多少元时，客房的总收入最大？比装修前客房日租金总收入增加多少元？
3．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500kg；销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：
(1)当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；
(2)设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式；
(3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
B组
4．行驶中的汽车在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”，为了测定某种型号汽车的刹车性能﹙车速不超过140千米/时﹚，对这种汽车进行测试，数据如下表：

刹车时车速（千米/时） 0 10 20 30 40 50 60
刹车距离 0 0．3 1．0 2．1 3．6 5．5 7．8

﹙1﹚以车速为x轴，以刹车距离为y轴，在坐标系中描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连结这些点，得到函数的大致图象；
﹙2﹚观察图象，估计函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数关系式；
﹙3﹚该型号汽车在国道上发生一次交通事故，现场测得刹车距离为46．5米，请推测刹车时的车速是多少？请问在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？
[本课学习体会]
26 . 3  实践与探索（3）
[本课知识重点]
（1）会求出二次函数与坐标轴的交点坐标；
（2）了解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系．
[MM及创新思维]
给出三个二次函数：（1）；（2）；（3）．
它们的图象分别为

观察图象与x轴的交点个数，分别是个、个、个．你知道图象与x轴的交点个数与什么有关吗？
另外，能否利用二次函数的图象寻找方程，不等式或的解？
[实践与探索]
例1．画出函数的图象，根据图象回答下列问题．
（1）图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么？
（2）当x取何值时，y=0？这里x的取值与方程有什么关系？
（3）x取什么值时，函数值y大于0？x取什么值时，函数值y小于0？
解  图象如图26．3．4，
（1）图象与x轴的交点坐标为（-1，0）、（3，0），与y轴的交点坐标为（0，-3）．
（2）当x= -1或x=3时，y=0，x的取值与方程的解相同．
（3）当x＜-1或x＞3时，y＞0；当 -1＜x＜3时，y＜0．

回顾与反思  （1）二次函数图象与x轴的交点问题常通过一元二次方程的根的问题来解决；反过来，一元二次方程的根的问题，又常用二次函数的图象来解决．
（2）利用函数的图象能更好地求不等式的解集，先观察图象，找出抛物线与x轴的交点，再根据交点的坐标写出不等式的解集．
例2．（1）已知抛物线，当k=       时，抛物线与x轴相交于两点．
（2）已知二次函数的图象的最低点在x轴上，则a=       ．
（3）已知抛物线与x轴交于两点A（α，0），B（β，0），且，则k的值是       ．
分析  （1）抛物线与x轴相交于两点，相当于方程有两个不相等的实数根，即根的判别式⊿＞0．
（2）二次函数的图象的最低点在x轴上，也就是说，方程的两个实数根相等，即⊿=0．
（3）已知抛物线与x轴交于两点A（α，0），B（β，0），即α、β是方程的两个根，又由于，以及，利用根与系数的关系即可得到结果．
请同学们完成填空．
回顾与反思  二次函数的图象与x轴有无交点的问题，可以转化为一元二次方程有无实数根的问题，这可从计算根的判别式入手．
例3．已知二次函数，
（1）试说明：不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点；
（2）m为何值时，这两个交点都在原点的左侧？
（3）m为何值时，这个二次函数的图象的对称轴是y轴？
分析  （1）要说明不论m取任何实数，二次函数的图象必与x轴有两个交点，只要说明方程有两个不相等的实数根，即⊿＞0．
（2）两个交点都在原点的左侧，也就是方程有两个负实数根，因而必须符合条件①⊿＞0，② ，③ ．综合以上条件，可解得所求m的值的范围．
（3）二次函数的图象的对称轴是y轴，说明方程有一正一负两个实数根，且两根互为相反数，因而必须符合条件①⊿＞0，② ．
解  （1）⊿= ，由，得，所以⊿＞0，即不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点．
（2）由，得；由，得；又由（1），⊿＞0，因此，当时，两个交点都在原点的左侧．
（3）由，得m=2，因此，当m=2时，二次函数的图象的对称轴是y轴．
探索  第（3）题中二次函数的图象的对称轴是y轴，即二次函数是由函数上下平移所得，那么，对一次项系数有何要求呢？请你根据它入手解本题．
[当堂课内练习]
1．已知二次函数的图象如图，
则方程的解是          ，
不等式的解集是       ，
不等式的解集是       ．
2．抛物线与y轴的交点坐标为          ，与x轴的交点坐标为             ．
3．已知方程的两根是，-1，则二次函数与x轴的两个交点间的距离为       ．
4．函数的图象与x轴有且只有一个交点，求a的值及交点坐标．
[本课课外作业]
A组
1．已知二次函数，画出此抛物线的图象，根据图象回答下列问题．
（1）方程的解是什么？
（2）x取什么值时，函数值大于0？x取什么值时，函数值小于0？
2．如果二次函数的顶点在x轴上，求c的值．
3．不论自变量x取什么数，二次函数的函数值总是正值，求m的取值范围．
4．已知二次函数，
求：（1）此函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出草图；
（2）以此函数图象与x轴、y轴的交点为顶点的三角形面积；
（3）x为何值时，y＞0．
5．你能否画出适当的函数图象，求方程的解？
B组
6．函数（m是常数）的图象与x轴的交点有             （）
A．0个    B．1个    C．2个    D．1个或2个
7．已知二次函数．
（1）说明抛物线与x轴有两个不同交点；
（2）求这两个交点间的距离（关于a的表达式）；
（3）a取何值时，两点间的距离最小？
[本课学习体会]

不想再卡 · 发表于 2011-10-12 11:15:02

26 . 3  实践与探索（4）
[本课知识重点]
掌握一元二次方程及二元二次方程组的图象解法．
[MM及创新思维]
上节课的作业第5题：画图求方程的解，你是如何解决的呢？我们来看一看两位同学不同的方法．
甲：将方程化为，画出的图象，观察它与x轴的交点，得出方程的解．
乙：分别画出函数和的图象，观察它们的交点，把交点的横坐标作为方程的解．
你对这两种解法有什么看法？请与你的同学交流．
[实践与探索]
例1．利用函数的图象，求下列方程的解：
（1）  ；
（2）．
分析  上面甲乙两位同学的解法都是可行的，但乙的方法要来得简便，因为画抛物线远比画直线困难，所以只要事先画好一条抛物线的图象，再根据待解的方程，画出相应的直线，交点的横坐标即为方程的解．
解  （1）在同一直角坐标系中画出
函数和的图象，
如图26．3．5，
得到它们的交点（-3，9）、（1，1），
则方程的解为 –3，1．

（2）先把方程化为
，然后在同一直角
坐标系中画出函数和
的图象，如图26．3．6，
得到它们的交点（，）、（2，4），
则方程的解为  ，2．
回顾与反思  一般地，求一元二次方程的近似解时，可先将方程化为，然后分别画出函数和的图象，得出交点，交点的横坐标即为方程的解．
例2．利用函数的图象，求下列方程组的解：
(1) ；                   （2）．
分析  （1）可以通过直接画出函数和的图象，得到它们的交点，从而得到方程组的解；（2）也可以同样解决．
解  （1）在同一直角坐标系中画出函数和的图象，如图26．3．7，
得到它们的交点（，）、（1，1），
则方程组的解为．

（2）在同一直角坐标系中画出函数和的图象，如图26．3．8，
得到它们的交点（-2，0）、（3，15），则方程组的解为．

探索  （2）中的抛物线画出来比较麻烦，你能想出更好的解决此题的方法吗？比如利用抛物线的图象，请尝试一下．
[当堂课内练习]
1．利用函数的图象，求下列方程的解：
（1）（精确到0．1）；
（2）．
2．利用函数的图象，求方程组的解：
[本课课外作业]
A组
1．利用函数的图象，求下列方程的解：
（1）                   （2）
2．利用函数的图象，求下列方程组的解：
（1）；             （2）．
B组
3．如图所示，二次函数与的图象交于A（-2，4）、B（8，2）．求能使成立的x的取值范围。

[本课学习体会]

第二十六章小结与复习
一、本章学习回顾
1．知识结构

2．学习要点
（1）能结合实例说出二次函数的意义。
（2）能写出实际问题中的二次函数的关系式，会画出它的图象，说出它的性质。
（3）掌握二次函数的平移规律。
（4）会通过配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标和最值。
（5）会用待定系数法灵活求出二次函数关系式。
（6）熟悉二次函数与一元二次方程及方程组的关系。
（7）会用二次函数的有关知识解决实际生活中的问题。
3．需要注意的问题
在学习二次函数时，要注重数形结合的思想方法。在二次函数图象的平移变化中，在用待定系数法求二次函数关系式的过程中，在利用二次函数图象求解方程与方程组时，都体现了数形结合的思想。
二、本章复习题
A组
一、填空题
1．已知函数，当m=       时，它是二次函数；当m=    时，抛物线的开口向上；当m=       时，抛物线上所有点的纵坐标为非正数．
2．抛物线经过点（3，-1），则抛物线的函数关系式为                ．
3．抛物线，开口向下，且经过原点，则k=    ．
4．点A（-2，a）是抛物线上的一点，则a=       ； A点关于原点的对称点B是       ；A点关于y轴的对称点C是       ；其中点B、点C在抛物线上的是    ．
5．若抛物线的顶点在x轴上，则c的值是       ．
6．把函数的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得新图象的函数关系式为                ．
7．已知二次函数的最小值为1，那么m的值等于       ．
8．二次函数的图象在x轴上截得的两交点之间的距离为       ．
9．抛物线的对称轴是       ，根据图象可知，当x       时，y随x的增大而减小．
10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，且经过点（-2，-2），则抛物线的函数关系式为             ．
11．若二次函数的图象经过点（2，0）和点（0，1），则函数关系式为             ．
12．抛物线的开口方向向，顶点坐标是       ，对称轴是       ，与x轴的交点坐标是                ，与y轴的交点坐标是       ，当x=    时，y有最值是    ．
13．抛物线与x轴的两个交点坐标分别为，，若，那么c值为    ，抛物线的对称轴为          ．
14．已知函数．当m       时，函数的图象是直线；当m
      时，函数的图象是抛物线；当m       时，函数的图象是开口向上，且经过原点的抛物线．
15．一条抛物线开口向下，并且与x轴的交点一个在点A（1，0）的左边，一个在点A（1，0）的右边，而与y轴的交点在x轴下方，写出这条抛物线的函数关系式                ．
二、选择题
16．下列函数中，是二次函数的有                                        （    ）
① ② ③ ④
A、1个          B、2个          C、3个          D、4个
17．若二次函数的图象经过原点，则m的值必为（    ）
A、-1或3       B、-1             C、3             D、无法确定
18．二次函数的图象与x轴                      （    ）
A、没有交点       B、只有一个交点 C、只有两个交点 D、至少有一个交点
19．二次函数有（    ）
A、最大值1       B、最大值2    C、最小值1       D、最小值2
20．在同一坐标系中，作函数，，的图象，它们的共同特点是
                                                                     （D ）
A、都是关于x轴对称，抛物线开口向上
B、都是关于y轴对称，抛物线开口向下
C、都是关于原点对称，抛物线的顶点都是原点
D、都是关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点
21．已知二次函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（    ）
A、                         B、且
C、                         D、且
22．二次函数的图象可由的图象                （    ）
A．向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到
B．向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到
C．向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到
D．向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到
23．某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，客床可全部租出．若每床每晚收费提高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的这种方法变化下去．为了投资少而获利大，每床每晚应提高       （    ）
A、4元或6元       B、4元             C、6元             D、8元
24．若抛物线的所有点都在x轴下方，则必有             （    ）
A、                B、
C、                D、
25．抛物线的顶点关于原点对称的点的坐标是             （    ）
A、（-1，3）       B、（-1，-3）       C、（1，3）       D、（1，-3）
三、解答题
26．已知二次函数．
（1）写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、最大或最小值；
（2）求抛物线与x轴、y轴的交点；
（3）作出函数图象的草图；
（4）观察图象，x为何值时，y＞0；x为何值时，y= 0；x为何值时，y＜0？
27．已知抛物线过（0，1）、（1，0）、（-1，1）三点，求它的函数关系式．
28．已知二次函数，当x=2时，y有最大值5，且其图象经过点（8，-22），求此二次函数的函数关系式．
29．已知二次函数的图象与x轴交于A（-2，0），B（3，0）两点，且函数有最大值2．
（1）求二次函数的函数关系式；
（2）设此二次函数图象的顶点为P，求⊿ABP的面积．
30．利用函数的图象，求下列方程（组）的解：
（1）；             （2）．
31．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数：m=162-3x．
（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式；
（2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？
B组
一、选择题
32．若所求的二次函数的图象与抛物线有相同的顶点，并且在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，则所求二次函数的函数关系式为                                                             （  D  ）
A、                   B、
C、                D、
33．二次函数，当x=1时，函数y有最大值，设，（是这个函数图象上的两点，且，则                            （    ）
A、                      B、
C、                      D、
34．若关于x的不等式组无解，则二次函数的图象与x轴                                                                   （    ）
A、没有交点                         B、相交于两点
C、相交于一点                      D、相交于一点或没有交点
二、解答题
35．若抛物线的顶点在x轴的下方，求m的值．
36．把抛物线的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是，求m、n．
37．如图，已知抛物线，与x轴交于A、B，且点A在x轴正半轴上，点B在x轴负半轴上，OA=OB，
（1）求m的值；
（2）求抛物线关系式，并写出对称轴和顶点C的坐标．
38．有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：
甲：对称轴是直线x=4；
乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；
丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3．
请写出满足上述全部特点的一个二次函数的关系式．
C组
解答题
39．如图，已知二次函数，当x=3时，
有最大值4．
（1）求m、n的值；
（2）设这个二次函数的图象与x轴的交点是A、B，
求A、B点的坐标；
（3）当y＜0时，求x的取值范围；
（4）有一圆经过A、B，且与y轴的正半轴相切于点C，
求C点坐标．
40．阅读下面的文字后，解答问题．
有这样一道题目：“已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(0,a) 、B(1,-2)、、             ，求证：这个二次函数图象的对称轴是直线x=2．”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字．
（1）根据现有信息，你能否求出题目中二次函数的解析式? 若能，写出求解过程，若不能请说明理由；
（2）请你根据已有信息，在原题中的矩形框内，填上一个适当的条件，把原题补充完整．
41．已知开口向下的抛物线与x轴交于两点A（，0）、B（，0），其中＜，P为顶点，∠APB=90°，若、是方程的两个根，且．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求抛物线的函数关系式．
42．已知二次函数的图象如图所示．
（1）当m≠-4时，说明这个二次函数的图象与x轴必有两个交点；
（2）求m的取值范围；
（3）在（2）的情况下，若，求C点坐标；
（4）求A、B两点间的距离；
（5）求⊿ABC的面积S．

第二十六章自我检测题
（时间45分钟，满分100分）
一、精心选一选（每题4分，共20分）
1．抛物线的顶点坐标是                                        （    ）
A、（2，0）       B、（-2，0）       C、（1，-3）       D、（0，-4）
2．若（2，5）、（4，5）是抛物线上的两个点，则它的对称轴是（    ）
A、          B、          C、          D、
3．已知反比例函数，当x＜0时，y随x的增大而减小，则函数的图象经过的象限是                                                 （    ）
A、第三、四象限                      B、第一、二象限
C、第二、三、四象限                   D、第一、二、三象限
4．抛物线与x轴的两个交点为（-1，0），（3，0），其形状与抛物线相同，则的函数关系式为                               （    ）
A、                   B、
C、                   D、
5．把抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线，则                                                    （    ）
A、b=2，c= -2    B、b= -6，c=6    C、b= -8，c=14    D、b= -8，c=18
二、细心填一填（每空3分，共45分）
6．若是二次函数，则m=    。
7．二次函数的开口    ，对称轴是          。
8．抛物线的最低点坐标是       ，当x       时，y随x的增大而增大。
9．已知二次函数的图象经过点（1，-1），则这个二次函数的关系式为          ，它与x轴的交点的个数为    个。
10．若y与成正比例，当x=2时，y=4，那么当x= -3时，y的值为    。
11．抛物线与y轴的交点坐标是    ，与x轴的交点坐标是          。
12．有一长方形条幅，长为a m，宽为b m，四周镶上宽度相等的花边，求剩余面积S（m2）与花边宽度x（m）之间的函数关系式为                      ，自变量x的取值范围为             。
13．抛物线与直线只有一个公共点，则b=    。
14．已知抛物线与x轴交点的横坐标为 –1，则 =    。
15．已知点A（1，4）和B（2，2），试写出过A、B两点的二次函数的关系式（任写两个）
                     、                   。
三、认真答一答（第17题8分，其余各9分）
16．已知二次函数的图象经过点（3，2）。
（1）求这个二次函数的关系式；
（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；
（3）当x＞0时，求使y≥2的x的取值范围。

17．根据下列条件，求二次函数的关系式：
（1）抛物线经过点（0，3）、（1，0）、（3，0）；
（2）抛物线顶点坐标是（-1，-2），且经过点（1，10）。

18．已知抛物线与x轴的一个交点为A（-1，0）。
（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的函数关系式。

19．有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变。现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元。据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但放养一天需各种费用400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价是每千克20元。
（1）设x天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于x的函数关系式；
（2）如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售总额Q元，写出Q关于x的函数关系式；
（3）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获得最大利润（利润=销售总额－收购成本－费用）？最大利润是多少？

相  似  形
图形的相似

教学目标
通过一些相似的实例，让生观察相似图形的特点，感受形状相同的意义，理解相似图形的概念．能通过观察识别出相似的图形．能根据直觉在格点图中画出已知图形的相似图形．
在获得知识的过程中培养学习的自信心．
教学重点
引导学生通过观察识别相似的图形，培养学生的观察分析及归纳能力．
教学难点
理解相似图形的概念．
教学过程
一、观察课本第页图、图，每组图形中的两图之间有什么关系？
二、归纳：
每组图形中的两个图形形状相同，大小不同．
具有相同形状的图形叫相似图形．
师可结合实例说明：
⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关．
⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况．
⑶我们可以这样理解相似形：
两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．
⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．
三、你还见过哪些相似的图形？请举出一些例子与同学们交流．
四、观察课本第页图中的三组图形，它们是否相似形？为什么？
五、想一想：
放大镜下的图形与原来的图形相似吗？
放大镜下的角与原来图形中的角是什么关系？
可让学生动手实验，然后讨论得出结论．
六、观察课本第页图中的三组图形，它们是否相似形？为什么？
　　让学生通过比较图与图，体会相似图形与不相似图形的“形状”特点．
七、课本第页“试一试”．
让生各自独立完成作图，再展示评析．
八、巩固：
⒈课本第页练习．
⒉课本第页习题．
对于第题，学生的判断是对相似图形的一种直观认识，最好让学生充分交流彼此的看法．
九、小结：
你通过这节课的学习，有哪些收获？
十、作业：略．

相似三角形

教学目标：使学生掌握相似三角形的判定与性质
教学重点：相似三角形的判定与性质
教学过程：
一知识要点：
1、相似形、成比例线段、黄金分割
相似形：形状相同、大小不一定相同的图形。特例：全等形。
相似形的识别：对应边成比例，对应角相等。
成比例线段（简称比例线段）：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
  黄金分割：将一条线段分割成大小两条线段，若小段与大段的长度之比等于大段与全长之比，则可得出这一比值等于0•618…。这种分割称为黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点，较长线段叫做较短线段与全线段的比例中项。
例1：（1）放大镜下的图形和原来的图形相似吗？
（2）哈哈镜中的形象与你本人相似吗？
（3）你能举出生活中的一些相似形的例子吗/
例2：判断下列各组长度的线段是否成比例：
（1）2厘米，3厘米，4厘米，1厘米
（2）1•5厘米，2•5厘米，4•5厘米，6•5厘米
（3）1•1厘米，2•2厘米，3•3厘米，4•4厘米
（4）1厘米， 2厘米，2厘米，4厘米。
例3：某人下身长90厘米，上身长70厘米，要使整个人看上去成黄金分割，需穿多高的高跟鞋？
例4：等腰三角形都相似吗？
矩形都相似吗？
正方形都相似吗？
2、相似形三角形的判断：
a两角对应相等
b两边对应成比例且夹角相等
c三边对应成比例
3、相似形三角形的性质：
a对应角相等
b对应边成比例

c对应线段之比等于相似比
d周长之比等于相似比
e面积之比等于相似比的平方

4、相似形三角形的应用：
计算那些不能直接测量的物体的高度或宽度以及等份线段

例题
1：如图所示，  ABCD中，G是BC延长线上一点，AG交BD于点E，交DC于点F，试找出图中所有的相似三角形

2如图在正方形网格上有6个斜三角形：a :ABC； b: BCD c: BDE  d: BFG  e: FGH  f:  EFK，试找出与三角形a相似的三角形

3、在 ABC中，AB=8厘米，BC=16厘米，点P从点A开始沿AB边向点B以2厘米每秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以4厘米每秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒钟 PBQ与  ABC相似？

4、某房地产公司要在一块矩形ABCD土地上规划建设一个矩形GHCK小区公园（如图），为了使文物保护区  AEF不被破坏，矩形公园的顶点G不能在文物保护区内。已知AB=200米，AD=160米，AF=40米，AE=60米。
（1）当矩形小区公园的顶点G恰是EF的中点时，求公园的面积；
（2）当G是EF上什么位置时，公园面积最大？

同步练习：
1．已知：AB=2，M是的黄金分割点，
（1）求AM的长；（2）求AM：MB

2．已知：x:y:z=2:3:4, 求:
(1)    （2）（3）若2x-3y+z=-2求x,y,z的

3．已知：，求k的值。

4．已知：△ ABC中，AD=AE，DE交BC延长线于F，求证：BF•CE=CF•BD。

5．如图：已知CD∥EF∥GH∥AB，AB=16，CD=10，DE∶EG∶GA=1∶2∶3，求EF+GH。

6．如图,已知：CD∶DA=BE∶ED=2∶1，
求BF∶FC及AE∶EF。

7．如图，在直角坐标系中有两点A（4，0），B（0，2），如果点C在x轴上，（C与A不重合），当由点B，O，C组成的三角形与三角形AOB相似时，求点C的坐标？

8．如图，在四边形ABCD中，E是AB上一点，EC平行AD，DE平行BC，若三角形BEC的面积=1，三角形ADE的面积=3，求三角形CDE的面积

位似图形教案

教学目标：
1、知识目标：
①了解位似图形及其有关概念；
②了解位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。
2、能力目标：
①利用图形的位似解决一些简单的实际问题；
②在有关的学习和运用过程中发展学生的应用意识和动手操作能力。
3、情感目标：
①通过学习培养学生的合作意识；
②通过探究提高学生学习数学的兴趣。
教学重点：
探索并掌握位似图形的定义和性质；
教学难点：
运用定义和性质进行简单的位似图形的证明和计算。
教学方法：
从学生生活经验和已有的知识出发，采用引导、启发、合作、探究等方法，经历观察、发现、动手操作、归纳、交流等数学活动，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习；提高学生自主探究、合作交流和分析归纳能力；同时在教学过程对不同层次的学生进行分类指导，让每个学生都得到充分的发展。
教学准备：
刻度尺、为每个小组准备好打印的五幅位似图形、多媒体展示课件、
教学手段：
小组合作、多媒体辅助教学
教学设计说明：
1、为了便于学生理解位似图形的特征，我在设计中特别注意让学生通过动手操作、猜想、试验等方式获得感性认识，然后通过归纳总结上升到理性认识，将形象与抽象有机结合，形成对位似图形的认识.
2、探索知识是本节的重点，设计这一环节，通过学生的做、议、读、想、试等环节来完成，把学习的主动权充分放给学生，每一环节及时归纳总结，使学生学有所获，探索创新.
教学过程：
一、创设情境  引入新知
观察大屏幕有五个图形，每个图形中的四边形ABCD和四边形A1B1C1D1 都是相似图形。分别观察着五个图形，你发现每个图形中的两个四边形各对应点的连线有什么特征?

（学生经过小组讨论交流的方式总结得出：）
特点：（1）两个图形相似：
   （2）每组对应点所在的直线交于一点。
二、合作交流  探究新知
请同学们阅读课本58页，掌握什么叫位似图形、位似中心、位似比？
如果两个相似图形的每组对应点所在的直线交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，这时两个相似图形的相似比又叫做它们的位似比。议一议    观察上图中的五个图形，回答下列问题：（1）在各图形中，位似图形的位似中心与这两个图形有什么位置关系？（2）在各图中，任取一对对应点，度量这两个点到位似中心的距离。它们的比与位似比有什么关系？再换一对对应点试一试。（每小组同学拿出准备好的位似图形通过观察、测量试验和计算得出：）
位似图形对应点到位似中心的距离之比等于相似比。由此得出：
位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。三、指导应用  深化理解
（同学们观察大屏幕出示的问题）
例1如图D，E分别是AB，AC上的点。 (1)如果DE∥BC,那么△ADE和△ABC位似图形吗?为什么? (2)如果△ADE和△ABC是位似图形,那么DE∥BC吗?为什么? 小组讨论如何解这道题：问题1，证位似图形的根据是什么？需要哪几个条件？
根据是位似图形的定义。
需要两个条件：
！、△ADE和△ABC相似；
2、对应点所在的直线交于一点。
问题2：已知△ADE和△ABC是位似图形，我们根据什么又能得出什么结论？
根据位似图形的性质得出：
1、对应点和位似中心在同一条直线上；
2、它们到位似中心的距离之比等于相似比。
（一生口述师板书：）
解：（1）△ADE和△ABC是位似图形.理由是：
∵DE∥BC
∴∠AED=∠B, ∠AED=∠C.
∵△ADE∽△ABC.
又∵点A是△ADE和△ABC的公共点，点D和点B是对应点，点E和点C是对应点，直线BD与CE交于点A，
∴△ADE和△ABC是位似图形。
（2）DE∥BC.理由是：
∵△ADE和△ABC是位似图形
∴△ADE∽△ABC.
∴∠ADE=∠B,
∴DE∥BC.
四、继续观察  拓展提高
（同学们继续观察屏幕展示的图形）
在图（1）——（5）中,位似图形的对应线段AB与A1B1是否平行?BC与B1C1,CD与C1D1,AD与A1D1是否平行?为什么?
同桌观察探究并发言：对应边平行或在同一条直线上。
（出示课件：展示一组位似图形，动画闪动图形的对应边，直观展示位似图形的对应边平行或在同一条直线上）
五、反馈练习  落实新知
挑战自我:
1、下面每组图形中都有两个图形.
（1）哪一组中的每两个图形是位似图形?
（2）作出位似图形的位似中心

2、如图AB，CD相交于点E，AC∥DB. △ACE与△BDE是位似图形吗？为什么？
（此环节由学生独立完成，第二题让一名学生到黑板上板书，以备面对全体矫正）
六、归纳小结  反思提高
请同学们谈一谈本节课的有什么收获和感想？
本节课我们学习了位似图形，知道了什么叫位似图形，位似图形有什么性质？我们可以利用定义来证明位似图形，已知位似图形我们可以根据性质得到有关结论。观察并判断位似图形的方法是，一要看是否相似，二要看对应边是否平行或在同一条直线上。
七、自我评价  检测新知
1、如果两个位似图形的每组________所在的直线都_________，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做________，这时的相似比又叫做________。
2、位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于_____________；位似图形的对应角__________，对应线段__________（填：“相等”、“平行”、“相交”
、“在一条直线上”等）
3、位似图形的位似中心，有的在对应点连线上，有的在___________的延长线上。
4、如果两个位似图形成中心对称，那么这两个图形__________（填“一定”、“不”或“可能”等）
5、下列每组图形是由两个相似图形组成的，其中_____________中的两个图形是位似图形。

（由学生独立完成，教师巡视。最后公布答案，教师并将发现的问题及时矫正有利于学生知识的巩固和提高）
八、课后延伸  探索创新
在如图所示的图案中，最外圈的8个三角形组成的图形和次外圈的8个红色三角形组成的图形是位似图形吗？如果是，为似比是多少？
九、板书设计：
十、课后反思：
1、存在问题：
（1）学生在动手操作，与探究位似图形的共同特征环节比较顺利，但是归纳性质用语言表达时则较困难；
（2）证明位似图形的思路还需要在老师的提示下找到，没能及时内化；
（3）内外位似区别不清楚。
2、改进意见：
（1）通过合作交流不断提高学生的语言表达能力和形象思维能力；
（2）注意通过定理公式的逆向运用发展学生的逆向思维；
（3）内外位似图形如果能举例说明并让学生自己来鉴别会掌握得更好。

27.1图形的相似（第1课时）
教学目标
1．掌握相似多边形的定义、表示法，并能根据定义判断两个多边形是否相似．
2．能根据相似比进行计算．
3. 通过与相似多边形有关概念的类比，得出相似三角形的定义, 领会特殊与一般的关系．
4．能根据定义判断两个多边形是否相似，训练学生的判断能力．
5．能根据相似比求长度和角度，培养学生的运用能力．
6. 通过与相似多边形有关概念的类比，渗透类比的教学思想，并领会特殊与一般的关系．
重点:相似三角形的初步认识．
教学过程
1、观察
共同特征：形状相同，大小不同．
相似图形：我们把这种形状相同的图形说成是相似图形
问题1：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形
         ______或________得到，
问题2：举出现实生活中的几个相似图形的例子
例如，放映电影时，投在屏幕上的画面就是胶片上的图形的放大；
实际的建筑物和它的模型是相似的；
用复印机把一个图形放大或缩小所所得的图形，也都与原来的图形相似．
问题3：尝试着画几个相似图形？（多媒体出示）

2、教材“观察”
图中是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像，它们相似吗？（多媒体出示）

相似    不相似    不相似
课堂练习:教材p37页1、2。
教学后记：
                        27.1图形的相似（第2课时）
教学目标：1．掌握相似多边形的定义、表示法，并能根据定义判断两个多边形是否相似．
2．能根据相似比进行计算．
3．能根据定义判断两个多边形是否相似，训练学生的判断能力．
4．能根据相似比求长度和角度，培养学生的运用能力．
重难点：根据定义求线段长或角的度数。
教学过程：
准备活动:
阅读理解：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另外两条线段的比相等，如（即ab=cd），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段.
一、复习旧知
相似多边形有关概念
二、引入新知
例题.如图（多媒体出示），四边形ABCD和EFGH相似，求∠1、∠2的度数和EF的长度.

解：四边形ABCD和EFGH相似，它们的对应角相等。
∴∠1=∠C=83°，
∠A=∠E=118°
在四边形ABCD中，
∠2=360°-（78°+83°+118°）=118°
四边形ABCD和EFGH相似，它们的对应边成比例。
由此得：
，即，
解得，x=28（cm）.
三巩固练习
！

27.1图形的相似（第1课时）
教学目标
1．掌握相似多边形的定义、表示法，并能根据定义判断两个多边形是否相似．
2．能根据相似比进行计算．
3. 通过与相似多边形有关概念的类比，得出相似三角形的定义, 领会特殊与一般的关系．
4．能根据定义判断两个多边形是否相似，训练学生的判断能力．
5．能根据相似比求长度和角度，培养学生的运用能力．
6. 通过与相似多边形有关概念的类比，渗透类比的教学思想，并领会特殊与一般的关系．
重点:相似三角形的初步认识．
教学过程
1、观察
共同特征：形状相同，大小不同．
相似图形：我们把这种形状相同的图形说成是相似图形
问题1：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形
         ______或________得到，
问题2：举出现实生活中的几个相似图形的例子
例如，放映电影时，投在屏幕上的画面就是胶片上的图形的放大；
实际的建筑物和它的模型是相似的；
用复印机把一个图形放大或缩小所所得的图形，也都与原来的图形相似．
问题3：尝试着画几个相似图形？（多媒体出示）

2、教材“观察”
图中是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像，它们相似吗？（多媒体出示）

相似    不相似    不相似
课堂练习:教材p37页1、2。
教学后记：

27.1图形的相似（第2课时）
教学目标：1．掌握相似多边形的定义、表示法，并能根据定义判断两个多边形是否相似．
2．能根据相似比进行计算．
3．能根据定义判断两个多边形是否相似，训练学生的判断能力．
4．能根据相似比求长度和角度，培养学生的运用能力．
重难点：根据定义求线段长或角的度数。
教学过程：
准备活动:
阅读理解：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另外两条线段的比相等，如（即ab=cd），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段.
一、复习旧知
相似多边形有关概念
二、引入新知
例题.如图（多媒体出示），四边形ABCD和EFGH相似，求∠1、∠2的度数和EF的长度.

解：四边形ABCD和EFGH相似，它们的对应角相等。
∴∠1=∠C=83°，
∠A=∠E=118°
在四边形ABCD中，
∠2=360°-（78°+83°+118°）=118°
四边形ABCD和EFGH相似，它们的对应边成比例。
由此得：
，即，
解得，x=28（cm）.
三巩固练习
如图，有一块呈三角形形状的草坪，其中一边的长是20 m，在这个草坪的图纸上，这条边长5 cm，其他两边的长都是3．5 cm，求该草坪其他两边的实际长度.

四、相似三角形的定义及记法
1、因为相似三角形是相似多边形中的一类，因此，相似三角形的定义可仿照相似多边形的定义给出.
三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形．
如△ABC与△DEF相似，多媒体出示，
记作△ABC ∽△ DEF
其中对应顶点要写在对应位置，如A与 D、B与 E、C与 F相对应．AB∶ DE等于相似比,相似比为K．
2、想一想：如果△ABC∽△DEF，那么哪些角是对应角？哪些边是对应边？对应角有什么关系？对应边呢？
由前面相似多边形的性质可知，对应角应相等，对应边应成比例．
3、议一议：
（1）两个全等三角形一定相似吗？为什么？

（2）两个直角三角形一定相似吗？两个等腰直角三角形呢？为什么？
（3）两个等腰三角形一定相似吗？两个等边三角形呢？为什么？
五、小结：
请学生谈一谈自己的收获以及自己对本节课的体会;
六、作业
1、看书P39-40
2、教材P40复习巩固1、3
教学后记：

27. 3  位似（一）
一、教学目标
1．了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的性质．
2．掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小．
二、重点、难点
1．重点：位似图形的有关概念、性质与作图．
2．难点：利用位似将一个图形放大或缩小．
3．难点的突破方法
（1）位似图形：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．
（2）掌握位似图形概念，需注意：①位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；②两个位似图形的位似中心只有一个；③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；④位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似．
（3）位似图形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质．位似图形是一种特殊的相似图形，它又具有特殊的性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于位似比（相似比）．
（4）两个位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行．
（5）利用位似，可以将一个图形放大或缩小，其步骤见下面例题．作图时要注意:①首先确定位似中心，位似中心的位置可随意选择；②确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点；③确定位似比，根据位似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小；④符合要求的图形不惟一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关（如例2），并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形（如例2中的图2与图3）．
三、例题的意图
本节课安排了两个例题，例1是补充的一个例题，通过辨别位似图形，巩固位似图形的概念，让学生理解位似图形必须满足两个条件：（1）两个图形是相似图形；（2）两个相似图形每对对应点所在的直线都经过同一点，二者缺一不可．例2是教材P61例题，通过例2 的教学，使学生掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小．讲解例2时，要注意引导学生能够用不同的方法画出所要求作的图形，要让学生通过作图理解符合要求的图形不惟一，这和所作的图形与所确定的位似中心的位置有关（如位似中心O可能选在四边形ABCD外，可能选在四边形ABCD内，可能选在四边形ABCD的一条边上，可能选在四边形ABCD的一个顶点上）．并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形（如例2 中的图2与图3），因此，位似中心的确定是作出图形的关键．要及时强调注意的问题（见难点的突破方法④），及时总结作图的步骤（见例2），并让学生练习找所给图形的位似中心的题目（如课堂练习2），以使学生真正掌握位似图形的概念与作图．
四、课堂引入
1．观察：在日常生活中，我们经常见到下面所给的这样一类相似的图形，它们有什么特征？

2．问：已知：如图，多边形ABCDE，把它放大为原来的2倍，即新图与原图的相似比为2．应该怎样做？你能说出画相似图形的一种方法吗？
五、例题讲解
例1（补充）如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心．

分析：位似图形是特殊位置上的相似图形，因此判断两个图形是否为位似图形，首先要看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否都经过同一点，这两个方面缺一不可．
解：图（1）、（2）和（4）三个图形中的两个图形都是位似图形，位似中心分别是图（1）中的点A ，图（2）中的点P和图（4）中的点O．（图（3）中的点O不是对应点连线的交点，故图（3）不是位似图形，图（5）也不是位似图形）
例2（教材P61例题）把图1中的四边形ABCD缩小到原来的．
分析：把原图形缩小到原来的，也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形各对应顶点到位似中心的距离之比为1∶2 ．
作法一：（1）在四边形ABCD外任取一点O；
（2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；
（3）分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′、B′、C′、D′，
使得；
（4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图2．
问：此题目还可以如何画出图形？
作法二：（1）在四边形ABCD外任取一点O；
（2）过点O分别作射线OA， OB， OC，OD；
（3）分别在射线OA， OB， OC， OD的反向延长线上取点A′、B′、C′、D′，使得；
（4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图3．
作法三：（1）在四边形ABCD内任取一点O；
（2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；
（3）分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′、B′、C′、D′，
使得；
（4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图4．
（当点O在四边形ABCD的一条边上或在四边形ABCD的一个顶点上时，作法略——可以让学生自己完成）
六、课堂练习
1．教材P61．1、2
2．画出所给图中的位似中心．

1．把右图中的五边形ABCDE扩大到原来的2倍．

七、课后练习
1．教材P65．1、2、4
2．已知：如图，△ABC，画△A′B′C′，
使△A′B′C′∽△ABC，且使相似比为1.5，要求
（1）位似中心在△ABC的外部；
（2）位似中心在△ABC的内部；
（3）位似中心在△ABC的一条边上；
（4）以点C为位似中心．
教学反思

27. 3  位似（二）
一、教学目标
1．巩固位似图形及其有关概念．
2．会用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．
3．了解四种变换（平移、轴对称、旋转和位似）的异同，并能在复杂图形中找出这些变换．
二、重点、难点
1．重点：用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换．
2．难点：把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．
3．难点的突破方法
（1）相似与轴对称、平移、旋转一样，也是图形之间的一个基本变换，因此一些特殊的相似（如位似）也可以用图形坐标的变化来表示．．
（2）带领学生共同探究出位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
（3）在平面直角坐标系中，用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换的关键是要确定位似图形各个顶点的坐标，而不同方法得到的图形坐标是不同的．如：已知：△ABC三个顶点坐标分别为A(1,3)，B(2,0)，C(6,2)，以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，根据前面（2）总结的变化规律，点A的对应点A′的坐标为（1×2，3×2），即A′（2，6），或点A的对应点A′′的坐标为（1×(-2)，3×(-2)），即A′′（-2，-6）．类似地，可以确定其他顶点的坐标．
（4）本节课的最后要给学生总结（或让学生自己总结）平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而图形放大或缩小（位似变换）之后是相似的．并让学生练习在所给的图案中，找出平移、轴对称、旋转和位似这些变换．
三、例题的意图
本节课安排了两个例题，例1是教材P63的例题，它是在引导学生寻找出位似变换中对应点的坐标的变化规律后的一个用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换的题目，其目的是巩固新知识，帮助学生加深理解用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换知识，此题目应让学生用不同方法作出图形．例2是教材P64的一个问题，它是“平移、轴对称、旋转和位似”四种变换的一个综合题目，所给的图案由于观察的角度不同，答案就会不同，因此应让学生自己来回答，并在顺利完成这个题目基础上，让学生自己总结出这四种变换的异同．
四、课堂引入
1．如图，△ABC三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，（1）将△ABC向左平移三个单位得到△A1B1C1，写出A1、B1、C1三点的坐标；
（2）写出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2三个顶点A2、B2、C2的坐标；
（3）将△ABC绕点O旋转180°得到△A3B3C3，写出A3、B3、C3三点的坐标．
2．在前面几册教科书中，我们学习了在平面直角坐标系中，如何用坐标表示某些平移、轴对称、旋转（中心对称）等变换，相似也是一种图形的变换，一些特殊的相似（如位似）也可以用图形坐标的变化来表示．
3．探究：
（1）如图，在平面直角坐标系中，有两点A(6,3)，B(6,0)．以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩小．观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？
（2）如图，△ABC三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？
【归纳】位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
五、例题讲解
例1（教材P63的例题）
分析：略（见教材P63的例题分析）
解：略（见教材P63的例题解答）
问：你还可以得到其他图形吗？请你自己试一试！
解法二：点A的对应点A′′的坐标为（-6× ，6× ），即A′′（3，-3）．类似地，可以确定其他顶点的坐标．（具体解法与作图略）
例2（教材P64）在右图所示的图案中，你能找出平移、轴对称、旋转和位似这些变换吗？
分析：观察的角度不同，答案就不同．如：它可以看作是一排鱼顺时针旋转45°角，连续旋转八次得到的旋转图形；它还可以看作位似中心是图形的正中心，相似比是4∶3∶2∶1的位似图形，……．
解：答案不惟一，略．
六、课堂练习
1．教材P64．1、2
2． △ABO的定点坐标分别为A(-1,4)，B(3,2)，O(0,0)，试将△ABO放大为△EFO，使△EFO与△ABO的相似比为2.5∶1，求点E和点F的坐标．
3．如图，△AOB缩小后得到△COD，观察变化前后的三角形顶点，坐标发生了什么变化，并求出其相似比和面积比．
七、课后练习
1．教材P65．3， P66．5、8
2．请用平移、轴对称、旋转和位似这四种变换设计一种图案（选择的变换不限）．
3．如图，将图中的△ABC以A为位似中心，放大到1.5倍，请画出图形，并指出三个顶点的坐标所发生的变化．
教学反思

第二十八章  锐角三角函数
单元要点分析
内容简介
本章内容分为两节，第一节主要学习正弦、余弦和正切等锐角三角函数的概念，第二节主要研究直角三角形中的边角关系和解直角三角形的内容．第一节内容是第二节的基础，第二节是第一节的应用，并对第一节的学习有巩固和提高的作用．
相似三角形和勾股定理等是学习本章的直接基础．
本章属于三角学中的最基础的部分内容，而高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，无论是从内容上看，还是从思考问题的方法上看，前一部分都是后一部分的重要基础．
教学目标
1．知识与技能
（1）通过实例认识直角三角形的边角关系，即锐角三角函数（sinA，cosA，tanA），知道30°，45°，60°角的三角函数值．
（2）会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值会求它的对应的锐角．
（3）运用三角函数解决与直角三角形有关的简单的实际问题．
（4）能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题．
2．过程与方法
贯彻在实践活动中发现问题，提出问题，在探究问题的过程中找出规律，再运用这些规律于实际生活中．
3．情感、态度与价值观
通过解直角三角形培养学生数形结合的思想．
重点与难点
1．重点
（1）锐角三角函数的概念和直角三角形的解法，特殊角的三角函数值也很重要，应该牢牢记住．
（2）能够运用三角函数解直角三角形，并解决与直角三角形有关的实际问题．
2．难点
（1）锐角三角函数的概念．
（2）经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析，解决问题的能力．
教学方法
在本章，学生首次接触到以角度为自变量的三角函数，初学者不易理解．讲课时应注意，只有让学生正确理解锐角三角函数的概念，才能掌握直角三角形边与角之间的关系，才能运用这些关系解直角三角形．故教学中应注意以下几点：
1．突出学数学、用数学的意识与过程．三角函数的应用尽量和实际问题联系起来，减少单纯解直角三角形的问题．
2．在呈现方式上，突出实践性与研究性，三角函数的意义要通过问题经出，再加以探索认识．
3．对实际问题，注意联系生活实际．
4．适度增加训练学生逻辑思维的习题，减少机械操作性习题，增加探索性问题的比重．
课时安排
本章共分9课时．
28．1  锐角三角函数       4课时
28．2  解直角三角形       4课时
小结                   1课时

28．1  锐角三角函数
内容简介
本节先研究正弦函数，在此基础上给出余弦函数和正切函数的概念．通过两个特殊的直角三角形，让学生感受到不管直角三角形大小，只要角度不变，那么它们所对的边与斜边的比分别都是常数，这为引出正弦函数的概念作好铺垫．这样引出正弦函数的概念，能够使学生充分感受到函数的思想，由于教科书比较详细地讨论了正弦函数的概念，因此对余弦函数和正切函数概念的讨论采用了直接给出的方式，具体的讨论由学生类比着正弦函数自己完成．教科书将求特殊角的三角函数值和已知特殊角的三角函数值求角这两个相反方向的问题安排在一起，目的是体现锐角三角函数中角与函数值之间的对应关系．本节最后介绍了如何使用计算器求非特殊角的三角函数值以及如何根据三角函数值求对应的角等内容．由于不同的计算器操作步骤有所不同，教科书只就常见的情况进行介绍．
教学目标
1．知识与技能
（1）了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角；
（2）能够正确地使用计算器，由已知锐角求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角．
2．过程与方法
通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．
3．情感、态度与价值观
引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯．
重点与难点
1．重点：正弦、余弦；正切三个三角函数概念及其应用．
2．难点：使学生知道当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的这一事实．用含有几个字母的符号组sinA、cosA表示正弦、余弦；正弦、余弦概念．
教学方法
学生很难想到对任意锐角，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的事实，关键在于教师引导学生比较、分析，得出结论．正弦、余弦的概念是全章知识的基础，对学生今后的学习与工作都十分重要，教学中应十分重视．同时正、余弦概念隐含角度与数之间具有一一对应的函数思想，又用含几个字母的符号组来表示，在教学中应作为难点处理．

第1课时  正弦函数
复习引入
教师讲解：杂志上有过这样的一篇报道：始建于1350年的意大利比萨斜塔落成时就已经倾斜．1972年比萨发生地震，这座高54.5m的斜塔大幅度摇摆22分之分，仍巍然屹立．可是，塔顶中心点偏离垂直中心线的距离已由落成时的2.1m增加至5.2m，而且还以每年倾斜1cm的速度继续增加，随时都有倒塌的危险．为此，意大利当局从1990年起对斜塔进行维修纠偏，2001年竣工，使顶中心点偏离垂直中心线的距离比纠偏前减少了43.8cm．
根据上面的这段报道中，“塔顶中心点偏离垂直中心线的距离已由落成时的2.1m增加至5.2m，”这句话你是怎样理解的，它能用来描述比萨斜塔的倾斜程度吗？
这个问题涉及到锐角三角函数的知识．学过本章之后，你就可以轻松地解答这个问题了!
探究新知
（1）问题的引入
教师讲解：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？
教师提出问题：怎样将上述实际问题用数学语言表达，要求学生写在纸上，互相讨论，看谁写得最合理，然后由教师总结．
教师总结：这个问题可以归纳为，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35m，求AB（课本图28．1-1）．

根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即
＝
可得AB=2BC=70m，也就是说，需要准备70m长的水管．
教师更换问题的条件后提出新问题：在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？要求学生在解决新问题时寻找解决这两个问题的共同点．
教师引导学生得出这样的结论：在上面求AB（所需水管的长度）的过程中，虽然问题条件改变了，但我们所用的定理是一样的：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于．也是说，只要山坡的坡度是30°这个条件不变，那么斜边与对边的比值不变．
教师提出第2个问题：既然直角三角形中，30°角的斜边与对边的比值不变，那么其他角度的对边与斜边的比值是否也不会变呢？我们再换一个解试一试．如课本图28．1-2，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，∠A对边与斜边的比值是一个定值吗？如果是，是多少？

教师要求学生自己计算，得出结论，然后再由教师总结：在Rt△ABC中，∠C=90°由于∠A=45°，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得AB2=AC2+BC2=2BC2，AB= BC．
因此 = ，
即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于．
教师再将问题提升到更高一个层次：从上面这两个问题的结论中可知，在一个Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A=30°时，∠A的对边与斜边的比都等于，是一个固定值；当∠A=45°时，∠A的对边与斜边的比都等于，也是一个固定值．这就引发我们产生这样一个疑问：当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？
教师直接告诉学生，这个问题的回答是肯定的，并边板书，边与学生共同探究证明方法．这为问题可以转化为以下数学语言：
任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′（课本图28．1-3），使得∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=a，那么有什么关系．

在课本图28．1-3中，由于∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=a，所以Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，，即．
这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值．
（二）正弦函数概念的提出
教师讲解：在日常生活中和数学活动中上面所得出的结论是非常有用的．为了引用这个结论时叙述方便，数学家作出了如下规定：
如课本图28．1-4，在Rt△BC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA= = ．

在课本图28．1-4中，∠A的对边记作a，∠B的对边记作b，∠C的对边记作c．
例如，当∠A=30°时，我们有sinA=sin30°= ；
当∠A=45°时，我们有sinA=sin45°= ．
（三）正弦函数的简单应用
教师讲解课本第79页例题1．
例1  如课本图28．1-5，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA和sinB的值．

教师对题目进行分析：求sinA就是要确定∠A的对边与斜边的比；求sinB就是要确定∠B的对边与斜边的比．我们已经知道了∠A对边的值，所以解题时应先求斜边的高．
解：如课本图28．5-1（1），在Rt△ABC中，
AB= =5．
因此 sinA= = ，sinB= = ．
如课本图28．5-1（2），在Rt△ABC中，
sinA= = ，AC= =12．
因此，sinB= = ．
随堂练习
做课本第79页练习．
课时总结
在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值．
在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，
教后反思
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第1课时作业设计
课本练习
做课本第85页习题28．1复习巩固第1题、第2题．（只做与正弦函数有关的部分）
双基与中考
1．如图1，已知点P的坐标是（a，b），则sinα等于（  ）
A．    B．       C．

   （1）                      （2）                （3）
2．（2005，南京）如图2，在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，则tanB的值是（  ）
A．    B．    C．       D．
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则sinB等于（  ）
   A．       B．    C．       D．
4．（2004．辽宁大连）在Rt△ABC中，∠C=90°，a=1，c=4，则sinA的值是（  ）．
   A．
5．如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinB= ，BC的长是（  ）．
   A．2
第1课时作业设计（答案）1．D  2．A  3．A  4．B  5．B

不想再卡 · 发表于 2011-10-12 11:15:19

28.1.2  余弦、正切函数(第2课时)
复习引入
教师提问：我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正弦的？为什么可以这样定义它．
学生回答后教师提出新问题：在上一节课中我们知道，如课本图28．1-6所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定了．现在我们要问：其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？

探究新知
（一）余弦、正切概念的引入
教师引导学生自己作出结论，其证明方法与上一节课证明对边比斜边为定值的方法相同，都是通过两个三角形相似来证明．
学生证明过后教师进行总结：类似于正弦的情况，在课本图28．1-6中，当锐角A的大小确定时，∠A的斜边与邻边的比、∠A的对边与邻边的比也分别是确定的．我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA= = ；
把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA= = ．
教师讲解并板书：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．
对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函数．同样地，cosA，tanA也是A的函数．
（二）余弦正切概念的应用
教师解释课本第80页例2题意：如课本图28．1-7，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，sinA= ，求cosA、tanB的值．

教师对解题方法进行分析：我们已经知道了直角三角形中一条边的值，要求余弦，正切值，就要求斜边与另一个直角边的值．我们可以通过已知角的正弦值与对边值及勾股定理来求．
教师分析完后要求学生自己解题．学生解后教师总结并板书．
解：sinA= ，
∴AB= =6× =10，
又∵AC= =8，
∴cosA= = ，tanB= = ．
随堂练习
学生做课本第81页练习1、2、3题．
课时总结
在直角三角形中，当锐角A的大小确定时，∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，把∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正切，记作tanA．
教后反思
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第2课时作业设计
课本练习
做课本第85页习题28．1复习巩固第1题、第2题．（只做与余弦、正切函数有关的部分）
双基与中考
一、选择题．
1．已知sina+cosa=m，sina•cosa=n，则m，n的关系是（  ）．
A．m=n    B．m=2n+1    C．m2=2n+1    D．m2=1-2n
2．在直角三角形ABC中，∠A为锐角，且cosA= ，那么（  ）．
A．0°<∠A≤30°    B．30°≤∠A≤45°
C．45°<∠A≤60° D．60°<∠A<90°
3．如图1，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为（  ）．
A．    C．sina    D．1

      (1)                (2)             (3)                (4)
4．如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BDC=90°，且AD=3，sin∠ABD= ，sin∠DBC= ，则AB，BC，CD长分别为（  ）．
A．4，12，13    B．4，13，12    C．5，12，13    D．5，13，12
5．如果a是锐角，且cosa= ，那么sin（90°-a）的值等于（  ）．
A．
6．如图3，菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，∠ABD=a，则下列结论正确的是（  ）．
A．sina=    B．cosa=    C．tana=    D．tana=
7．如图4，为测一河两岸相对两电线杆A、B间的距离，在距A点17米的C处（AC⊥AB）测得∠ACB=50°，则A、B间的距离应为（  ）．
A．17sin50°米    B．17cos50°米 C．17tan50°米    D．17cot50°米
8．在△ABC中，∠C=90°，且AC>BC，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，EF⊥AB于F，若CD=4，AB=10，则EF：AF等于（  ）．
A．       B．       C．
二、填空题 9．直角三角形的斜边和一条直角边的比为25：24，则其中最小角的正切值是________．
10．在Rt△ABC中，∠C=90°，a+b=4 ，且S△ABC=2，则c=_______．
11．已知直角三角形中较长的直角边长为30，这边所对角的余弦值为，则此三角形的周长为______，面积为_______．
12．已知sinα•cosα= ，0°<α<45°，则sinα-cosα=_______．
三、解答题
13．已知等腰三角形的一条腰长为20cm，底边长为30cm，求底角的正切值．

14．已知sinα，cosα是方程4x2-2（1+ ）x+ =0的两根，求sin2α+cos2α的值．

第2课时作业设计（答案）
一、1．C  2．D  3．A  4．B  5．B  6．D  7．C  8．A
二、9． 10．2 11．80，240  12．-
三、13．如图，设△ABC为等腰三角形，AB=AC=20，BC=30，过A作AD⊥BC于D，
则D为BC中点．
∴BD=15，在Rt△ABD中，AD= =5 ．
∴tanB= ．

14．∵sinα+cosα= （1+ ），cosα•sinα= ，
∴sin2α+cos2α=（sinα+cosα）2-2sinα•cosα
=[ （1+ ）] 2-  =1．

28.1.3 特殊角的三角函数值
(第3课时)
复习引入
教师提问：一个直角三角形中，一个锐角正弦、余弦、正切值是怎么定义的？
在学生回答了这个问题后，教师再复述一遍，提出新问题：两块三角尺中有几个不同的锐角？是多少度？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值．
提醒学生：求时可以设每个三角尺较短的边长为1，利用勾股定理和三角函数的定义可以求出这些三角函数值．
探究新知
（一）特殊值的三角函数
学生在求完这些角的正弦值、余弦值和正切值后教师加以总结．
30°、45°、60°的正弦值、余弦值和正切值如下表：
30° 45° 60°
sinα



cosα



tanα
1

教师讲解上表中数学变化的规律：对于正弦值，分母都是2，分子按角度增加分别为，与．对于余弦值，分母都是2，分子按角度增加分别为，与．对于正切，60度的正切值为，当角度递减时，分别将上一个正切值除以，即是下一个角的正切值．
要求学生记住上述特殊角的三角函数值．
教师强调：（sin60°）2用sin260°表示，即为（sin60°）•（sin60°）．
（二）特殊角三角函数的应用
1．师生共同完成课本第82页例3：求下列各式的值．
（1）cos260°+sin260°．
（2） -tan45°．
教师以提问方式一步一步解上面两题．学生回答，教师板书．
解：（1）cos260°+sin260°=（）2+（）2=1
（2） -tan45°= ÷ -1=0
2．师生共同完成课本第82页例4：教师解答题意：
（1）如课本图28．1-9（1），在Rt△ABC中，∠C=90，AB= ，BC= ，求∠A的度数．
（2）如课本图28．1-9（2），已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的倍，求a．
教师分析解题方法：要求一个直角三角形中一个锐角的度数，可以先求它的某一个三角函数的值，如果这个值是一个特殊解，那么我们就可以求出这个角的度数．

解：（1）在课本图28．1-9（1）中，
∵sinA= = ，
∴∠A=45°．
（2）在课本图28．1-9（2）中，
∵tana= = ，
∴a=60°．
教师提醒学生：当A、B为锐角时，若A≠B，则
sinA≠sinB，cosA≠cosB，tanA≠tanB．
随堂练习
学生做课本第83页练习第1、2题．
课时总结
学生要牢记下表：
30° 45° 60°
sinα



cosα



tanα
1

对于sina与tana，角度越大函数值也越大；对于cosa，角度越大函数值越小．
教后反思
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第3课时作业设计
课本练习
做课本第85页习题28．1复习巩固第3题．
双基与中考
（本练习除了作为本课时的课外作业之外，余下的部分作为下一课时（习题课）学生的课堂作业．学生可以自己根据具体情况划分课内、课外作业的份量）．
一、选择题．
1．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，cosA= ，AB=15，则AC的长是（  ）．
A．3       B．6       C．9       D．12
2．下列各式中不正确的是（  ）．
A．sin260°+cos260°=1       B．sin30°+cos30°=1
C．sin35°=cos55°       D．tan45°>sin45°
3．计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是（  ）．
A．2       B．          C．       D．1
4．已知∠A为锐角，且cosA≤ ，那么（  ）
A．0°<∠A≤60°    B．60°≤∠A<90°
C．0°<∠A≤30°    D．30°≤∠A<90°
5．在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA= ，cosB= ，则△ABC的形状是（  ）
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．不能确定
6．如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，BC=3，AC=4，设∠BCD=a，则tana的值为（  ）．
A．       B．       C．          D．
7．当锐角a>60°时，cosa的值（  ）．
A．小于    B．大于    C．大于    D．大于1
8．在△ABC中，三边之比为a：b：c=1：：2，则sinA+tanA等于（  ）．
A．
9．已知梯形ABCD中，腰BC长为2，梯形对角线BD垂直平分AC，若梯形的高是，则∠CAB等于（  ）
A．30°    B．60°    C．45° D．以上都不对
10．sin272°+sin218°的值是（  ）．
A．1       B．0       C．          D．
11．若（ tanA-3）2+│2cosB- │=0，则△ABC（  ）．
A．是直角三角形             B．是等边三角形
C．是含有60°的任意三角形 D．是顶角为钝角的等腰三角形
二、填空题．
12．设α、β均为锐角，且sinα-cosβ=0，则α+β=_______．
13．的值是_______．
14．已知，等腰△ABC的腰长为4 ，底为30°，则底边上的高为______，周长为______．
15．在Rt△ABC中，∠C=90°，已知tanB= ，则cosA=________．
16．正方形ABCD边长为1，如果将线段BD绕点B旋转后，点D落在BC的延长线上的点D′处，那么tan∠BAD′=________．
17．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，得的值为_______．
三、解答题．
18．求下列各式的值．
（1）sin30°•cos45°+cos60°;（2）2sin60°-2cos30°•sin45°

（3） ;          （4） -sin60°（1-sin30°）．

（5）tan45°•sin60°-4sin30°•cos45°+ •tan30°

（6） +cos45°•cos30°

19．在△ABC中，AD是BC边上的高，∠B=30°，∠C=45°，BD=10，求AC．

20．如图，∠POQ=90°，边长为2cm的正方形ABCD的顶点B在OP上，C为CQ上，且∠OBC=30°，分别求点A，D到OP的距离．

21．已知sinA，sinB是方程4x2-2mx+m-1=0的两个实根，且∠A，∠B是直角三角形的两个锐角，求：
（1）m的值；（2）∠A与∠B的度数．

22．如图，自卸车车厢的一个侧面是矩形ABCD，AB=3米，BC=0.5米，车厢底部距离地面1.2米，卸货时，车厢倾斜的角度=60°，问此时车厢的最高点A距离地面是多少米？（精确到0.1m）

23．如图，由于水资源缺乏，B、C两地不得不从黄河上的扬水站A处引水，这就需要在A、B、C之间铺设地下输水管道．有人设计了三种铺设方案：如图（1）、（2）、（3），图中实线表示管道铺设线路，在图（2）中，AD⊥BC于D；在图（3）中，OA=OB=OC．为减少渗漏，节约水资源，并降低工程造价，铺设线路应尽量缩短．已知△ABC恰好是一个边长是a的等边三角形，请你通过计算，判断哪个铺设方案最好．

第3课时作业设计（答案）
一、1．C  2．B  3．D  4．B  5．B  6．A  7．A  8．A  9．B  10．A  11．A
二、12．90°  13． 14．2 ，12+8 15． 16． 17．
三、
18．（1）（5）；  （6）0
19．∵AD是BC边上的高，
∴△ABD和△ACD都是直角三角形．
∵ =tan30°，BD=10，
∴AD=  ．
∴ =sinC，
∴AC= ．
20．过点A、D分别作AE⊥OP，DF⊥OP，DG⊥OQ，垂足分别为E、F、G．
在正方形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°．
∵∠OBC=30°，∴∠ABE=60°．
在Rt△AEB中，AE=AB•sin60°=2× = （cm）．
∵四边形DFOG是矩形，∴DF=GO．
∵∠OBC=30°，∴∠BCO=60°，∴∠DCG=30°．
在Rt△DCG中，CG=CD•cos30°=2× = （cm）．
在Rt△BOC中，OC= BC=1．
21．m=2 +1 A=45° B=45°
22．A距地面4.8m
23．（1）所示方案的线路总长为AB+BC=2a．
（2）在Rt△ABD中，AD=ABsin60°= a，
∴（2）所示方案的线路总长为AD+BC=（ +1）a．

（3）延长AO交BC于E，∵AB=AC，OB=OC，∴OE⊥BC，BE=EC= ．
在Rt△OBE中，∠OBE=30°，OB= = a．
∴（3）所示方案的线路总长为OA+OB+OC=3OB= a．
比较可知， a<（ +1）a<2a，∴图（3）所示方案最好．

28．1．4 利用计算器求三角函数值
第4课时
复习引入
教师讲解：通过上面几节的学习我们知道，当锐角A是30°、45°或60°等特殊角时，可以求得这些特殊角的正弦值、余弦值和正切值；如果锐角A不是这些特殊角，怎样得到它的三角函数值呢？我们可以借助计算器来求锐角的三角函数值．
探究新知
（一）已知角度求函数值
教师讲解：例如求sin18°，利用计算器的sin键，并输入角度值18，得到结果sin18°=0.309016994．
又如求tan30°36′，利用tan键，并输入角的度、分值，就可以得到答案0.591398351．
利用计算器求锐角的三角函数值，或已知锐角三角函数值求相应的锐角时，不同的计算器操作步骤有所不同．
因为30°36′=30.6°，所以也可以利用tan键，并输入角度值30.6，同样得到答案0.591398351．
（二）已知函数值，求锐角
教师讲解：如果已知锐角三角函数值，也可以使用计算器求出相应的锐角．例如，已知sinA=0.5018；用计算器求锐角A可以按照下面方法操作：
依次按键2ndf  sin，然后输入函数值0.5018，得到∠A=30.11915867°（如果锐角A精确到1°，则结果为30°）．
还可以利用2ndf  °’”键进一步得到∠A=30°07′08．97″（如果锐角A精确到1′，则结果为30°8′，精确到1″的结果为30°7′9″）．
使用锐角三角函数表，也可以查得锐角的三角函数值，或根据锐角三角函数值求相应的锐角．
教师提出：怎样验算求出的∠A=30°7′9″是否正确？让学生思考后回答，然后教师总结：可以再用计算器求30°7′9″的正弦值，如果它等于0.5018，则我们原先的计算结果就是正确的．
随堂练习  课本第84页练习第1、2题．
课时总结
已知角度求正弦值用sin键；已知正弦值求小于90°的锐角用2ndf  sin键，对于余弦与正切也有相类似的求法．
教后反思
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第4课时作业设计
课本练习
做课本第85页习题28．1复习巩固第4题，第5题．
双基与中考
（本练习除了作为本课时的课外作业之外，余下的部分作为下一课时（习题课）学生的课堂作业，学生可以自己根据具体情况划分课内、课外作业的份量）
一、选择题．
1．如图1，Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC上一点，∠DAC=30°，BD=2，AB=2 ，则AC的长是（  ）．
A．       B．2       C．3    D．

         (1)                (2)                   (3)
2．如图2，从地面上C、D两处望山顶A，仰角分别为35°、45°，若C、D两处相距200米，那么山高AB为（  ）．
A．100（ +1）米    B．100 米    C．100 米    D．200米
3．如图3，两建筑物的水平距离为s米，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角为β，则较低的建筑物的高为（  ）．
A．s•tanα米                   B．s•tan（β-α）米
C．s（tanβ-tanα）米          D．米
4．已知：A、B两点，若由A看B的仰角为α，则由B看A的俯角为（  ）．
A．α    B．90°-α    C．90°+α    D．180°-α
5．如图4，从山顶A望地面C、D两点，测得它们的俯角分别是45°和30°，已知CD=100m，点C在BD上，则山高AB等于（  ）．
A．100m    B．50 m C．50 m    D．50（ +1）m

            (4)                (5)             (6)
6．已知楼房AB高50m，如图5，铁塔塔基与楼房房基间水平距离BD为50m，塔高DC为 m，下列结论中正确的是（  ）．
A．由楼顶望塔顶仰角为60° B．由楼顶望塔基俯角为60°
C．由楼顶望塔顶仰角为30° D．由楼顶望塔基俯角为30°
7．如图6，一台起重机的机身高AB为20m，吊杆AC的长为36m，吊杆对水平线的倾角可以从30°转到80°，则这台起重机工作时吊杆端点C离地面的最大高度和离机身的最远水平距离分别是（  ）．
A．（36+20）m和36•tan30°m          B．36•sin80°m和36•cos30°m
C．（36sin30°+20）m和36•cos30°m D．（36sin80°+20）m和36•cos30°m
8．观察下列各式：（1）sin59°>sin28°；（2）0<cosα<1（α是锐角）；
（3）tan30°+tan60°=tan90°；（4）tan44°•cot44°=1，其中成立的有（  ）．
A．1个    B．2个    C．3个    D．4个
9．角a为锐角，且cosα= ，那么α在（）。
A．0°与30°之间       B．30°与45°之间
C．45°与60°之间       D．60°与90°之间
10．如图7，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B，取∠ABD=145°，BD=500米，∠D=55°，要使A、C、E成一直线，那么开挖点E离点D的距离是（  ）．
A．500sin55°米    B．500cos55°米 C．500tan55°米    D．500cot55°米

      (7)                   (8)                   (9)
11．如图8，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC=4，则BD的长为（  ）．
A．8    B．4    C．2    D．8
12．在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则下列等式成立的是（  ）．
A．b=c•cosA    B．b=a•sinB C．a=b•tanB    D．b=c•cotA
二、填空题
13．求sin72°的按键顺序是_________．
14．求tan25°42°的按键顺序是__________．
15．求cot32°19′的按键顺序是__________．
16．用计算器cos18°44′25″=__________．
17．如图9，在40m高楼A处测得地面C处的俯角为31°，地面D处的俯角为72°，那么
（1）31°=∠_____=∠_______；（2）27°=∠_____=∠_______；
（3）在Rt△ABC中，BC=_______；（精确到1m）
（4）在Rt△ABD中，BC=_____；（精确到1m）
（5）CD=________-BC=________．
18．如图10，一段河堤的横断面为梯形ABCD，根据图中所标的数据填空：
（1）CE：EB=i=______：________；（2）EB=______m，∠a=________．
（3）过点D作DF⊥AB，交AB于点F，则DF=________m，AF=_________m；
（4）河堤底宽AB=AF+FE+EB=_______m．

                  (10)                            (11)
19．如图11，在坡度为1：2的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是________米．
20．某飞机在离地面1200米的上空测得地面控制点的俯角为60°，此时飞机与该地面控制点之间的距离是________米．
三、解答题．
21．求下列各式的值：
（1）sin42°31′ （2）cos33°18′24″ （3）tan55°10′

22．根据所给条件求锐角α．
（1）已知sinα=0.4771，求α．（精确到1″）
（2）已知cosα=0.8451，求α．（精确到1″）
（3）已知tanα=1.4106，求α．（精确到1″）

23．等腰三角形ABC中，顶角∠ACB=108°，腰AC=10m，求底边AB的长及等腰三角形的面积．（边长精确到1cm）

24．如图，美国侦察机B飞抵我近海搞侦察活动，我战斗机A奋起拦截，地面雷达C测得：当两机都处在雷达的正东方向，且在同一高度时，它们的仰角分别为∠DCA=16°，∠DCB=15°，它们与雷达的距离分别为AC=80千米，BC=81千米，求此时两机距离是多少千米（精确到0.01千米）？（sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29）

25．苏州的虎丘塔塔身倾斜，却经千年而不倒，被誉为“天下第一斜塔”．如图，BC是过塔底中心B的铅垂线，AC是塔顶A偏离BC的距离．据测量，AC约为2.34米，倾角∠ABC约为2°48′，求虎丘塔塔身AB的长度．（精确到0.1米）

答案:
一、1．A  2．A  3．C  4．A  5．D  6．C  7．D  8．C  9．D  10．B  11．B  12．A
二、13．sin、7、2、=
14．tan、（、2、5、+、4、2、÷、6、0、）、=
15．tan、（、9、0、-、3、2、-、1、9、÷、6、0、）、=
16．0.946984659  17．（1）EAC，ACB  （2）EAD，ADB  （3）67  （4）79  （5）BD， 12 18．（1）CE，EB  （2）3，45°  （3）3，4  （4）10  19．3 20．800
三、21．（1）0.675804644  （2）0.835743474  （3）1.445081367
22．（1）28°29′46″  （2）32°19′2″  （3）54°39′59″
23．如图，作CD⊥AB，垂足为D．
则∠ACD= ∠ACB=54°，AB=2AD．
在Rt△ADC中，∠ADC=90°．
∵cos∠ACD= ，
∴CD=AC×cos∠ACD=10×cos54°
≈10×0.59=6（cm）．
∵sin∠ACD= ，
∴AD=AC×sin∠ACD=10×sin54°≈10×0.81=8（cm）．
∴AB=2AD=16（cm）．
S△ABC= AB•CD= ×16×6=48（cm2）．
24．作AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，则cos16°= ，
∴CE=80×cos16°≈80×0.96≈76.80．∵cos15°= ，
∴CF=81×cos15°≈81×0.97≈78.57．
依题意，AB∥CD，
∴AB=EF=CF-CE=78.57-76．80=1.77（千米）
答：此时两机相距1.77千米．
25．在Rt△ABC中，AC=2.34米，∠ABC=2°48′，
∴斜边AB= =47.9（米）．
答：塔身AB长约为47.9米．

28．2  解直角三角形
内容简介
本节上一节“锐角三角函数”的基础上研究解直角三角形的方法及其在实际中的应用．本节开始设计了两个实际问题，要解决这两个问题需要用到上一节学习的内容，由此引出解直角三角形的内容．教科书借助于这个实际问题背景，设计了一个“探究”栏目，要求学生探讨在直角三角形中，根据两个已知条件求解直角三角形，最后教科书归纳给出求解直角三角形常用的反映三边关系的勾股定理，反映锐角之间关系的互余关系，以及反映边角之间关系的锐角三角函数关系．这样，教科书就结合实际问题背景，探讨了解直角三角形的内容．接下去，教科书又结合四个实际问题介绍了解直角三角形的理论在实际中的应用．通过四个实际问题体现了正弦、余弦和正切这几个锐角三角函数在解决实际问题中的作用．本节最后将测量大坝的高度与测量山的高度相对比的方式，直观形象地介绍了“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的微积分的基本思想．
教学目标
1．知识与技能
理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题；初步感受高等数学中的微积分思想．
2．过程与方法
通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
3．情感、态度与价值观
渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．
重点与难点
1．重点：直角三角形的解法．
2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．
教学方法
1．注意加强知识间的纵向联系
第27章“相似”是研究本章的基础，教科书利用相似三角形的有关结论解释了在一般情形中正弦定义的合理性．教学中要注意加强两者之间的联系．全等三角形的有关理论有利于理解解直角三角形的相关内容．教学中要注意加强知识间的相互联系，使学生的学习形成正迁移．
本章所研究的锐角三角函数反映了锐角与数值之间的函数关系，这一次函数、反比例函数以及二次函数一样，都反映了变量之间的对应关系．因此教学时，要注意让学生体会这些不同函数之间的共同特征，更好地理解函数的概念．
2．注意数形结合，注意体现数与形之间的联系
数形结合是重要的数学思想和数学方法，本章内容又是数形结合的很理想的材料．结合几何图形来定义锐角三角函数的概念，将数形结合起来，有利于学生理解锐角三角函数的本质．再比如，解直角三角形在实际中有着广泛的作用，在将这些实际问题抽象成数学问题，并利用锐角三角函数解直角三角形时，离不开几何图形，这时往往需要根据题意画出几何图形，通过分析几何图形得到边、角等的关系，再通过计算、推理等使实际问题得到解决．因此在本章教学时，要注意加强数形结合，在引入概念、推理论述、化简计算、解决实际问题时，都要尽量画图帮助分析，通过图形帮助找到直角三角形的边、角之间的关系，加深对直角三角形本质的理解．

第1课时  解直角三角形引入
复习引入
教师讲解：上一节我们介绍了直角三角函数．我们知道，一个直角三角形有许多元素的值，各三边的长，三个角的度数，三角的正弦、余弦、正切值．我们现在要研究的是，我们究竟要知道直角三角形中多少值就可以通过公式计算出其他值．
探究新知
概念的引入
教师讲解题目含意：要想使人完全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角a一般要满足50°≤a≤75°（课本图28．2-1），现有一个长6m的梯子，问：
1．使用这个梯子最高可以完全攀上多高的墙（精确到0.1m）？
2．当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角a等于多少（精确到1°）？这时人是否能够安全使用这个梯子？
教师对问题的解法进行分析：对于问题1，当梯子与地面所成的角a为75°时，梯子顶端与地面的距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度．
教师要求学生将上述问题用数学语言表达，学生做完后教师总结并板书：我们可以把问题1归结为：在Rt△ABC中，已知∠A=75°，斜边AB=6，求∠A的对边BC的长（如课本图28．2-1）．
教师讲解问题1的解法：
由sinA=  得  BC=AB•sinA=6×sin75°．
由计算器求得 sin75°≈0.97，
所以  BC≈6×0.97≈5.8．
因此使用这个梯子能够完全攀到墙面的最大高度约是5.8m．
教师分析问题2：当梯子底端距离墙面2.4m时，求梯子与地面所成的角a的问题，可以归结为：在Rt△ABC中，已知AC=2.4，斜边AB=6，求锐角a的度数（如课本图28．2-1）．
教师解题：由于cosa= = =0.4，
利用计算器求得a≈66°．因此当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角大约是66°，由50°<66°<75°可知，这时使用这个梯子是安全的．
随堂练习
如下图，已知A、B两点间的距离是160米，从A点看B点的仰角是11°，AC长为1.5米，求BD的高及水平距离CD．

学生做完此题后教师要讲评：
解题方法分析：由A作一条平行于CD的直线交BD于E，构造出Rt△ABE，然后进一步求出AE、BE，进而求出BD与CD．设置此题，即使成绩较好的学生有足够的训练，同时对较差学生又是巩固，达到分层次教学的目的．
解：过A作AE∥CD，于是有AC=ED，AE=CD．
在Rt△ABE中，sinA=
∴BE=AB•sinA=160•sin11°=30.53（米）．
cosA=
∴AE=AB•cosA=160•cos11°=157.1（米）．
∴BD=BE+ED=BE+AC=30.53+1.5=32.03（米）．
CD=AE=157.1（米）．
答：BD的高及水平距离CD分别是32.03米，157.1米．
课时总结
利用三角函数解应用题时，首先要把问题的条件与结论都转化为一个直角三角形内的边和角，然后再运用三角函数知识解题．
教后反思
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第1课时作业设计
课本练习
做课本第96页习题28．2复习巩固第1题、第2题．
双基与中考
1．根据直角三角形的__________元素（至少有一个边），求出________其它所有元素的过程，即解直角三角形．
2．Rt△ABC中，若sinA= ，AB=10，那么BC=_____，tanB=______．
3．在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那么sinA=________．
4．（2006年中考题），在△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则cosA的值是（  ）
A．       B．       C．
5．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanB=cos∠DAC．
（1）求证：AC=BD;（2）若sinC= ，BC=12，求AD的长．

答案:
1．已知两个  2．8    3． 4．B
5．（1）在△ABC中，AD是BC边上的高，
∴tanB=
又∵tanB=cos∠DAC．∴BD=AC．
（2）∵sinC= ，设AD=12x，AC=13x，∴CD=5x，BD=13x，则BC=18x，
又∵BC=12，∴18x=12，即x= ，
∴AD=8．
第2课时  解直角三角形
复习引入
教师讲解：上一节课我们通过实例大致了解了通过已知条件来求三角形其他元素解法．这一节课我们将提出解直角三角形这一概念，并通过实例说明它的解法．
教师提出以下问题要求学生自行解答：三角形有六个元素，分别是三条边和三个内角．在课本图28．2-1的Rt△ABC中，
1．根据∠A=75°，斜边AB=6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？
2．根据AC=2．4，斜边AB=6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？
学生解答完后教师给出解法．
探究新知
（一）什么是解直角三角形
教师讲解什么是解直角三角形．事实上，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素．
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，就是解直角三角形．
（二）解直角三角形用的知识
师生共同思考，在解直角三角形的过程中，要用到哪些已学过的知识．
教师总结：如课本图28．2-2所示，解直角三角形时一般要用到下面的某些知识：
（1）三边之间的关系
a2+b2+c2（勾股定理）
（2）两锐角之间的关系
∠A+∠B=90°．
（3）边角之间的关系：
sinA= = ，sinB= =
cosA= = ，cosB= =
tanA= = ，tanB= =
（三）解直角三角形实例
1．教师解释例1题意：
例1  如课本图28．2-3，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC= ，BC= ，解这个直角三角形．
教师给出解法并板书．
解：∵tanA= = ，
∴∠A=60°．
∠B=90°-∠A=90°-60°=30°．
AB=2AC=2 ．
2．教师讲解例2题意，解题并板书：
例2  如课本图28．2-4，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，b=20，解这个直角三角形．（精确到0.1）
解：∠A=90°-∠B=90°-35°=55°．
∵tanB= ．
∴a= ≈28.6．
∵sinB= ，
∴c= ≈35.1．
（四）应用实例
现在我们来看本章引言提出的有关比萨斜塔倾斜的问题．
先看1972年的情形：设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为A，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为点C（如课本图28．2-5），在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5.2m，AB=54.5m．
sin= ≈0.0954．
所以∠A≈5°08′．
教师要求学生求出2001年纠偏后塔身中心线与垂直中心线的夹角．
随堂练习
课本第91页练习．
课时总结
解直角三角形就是已知直角三角形三条边，三个角中的2个元素（其中有一个必须是边）求其他元素的过程．解直角三角形常用的知识有：勾股定理，正弦、余弦、正切，两个内角和为90度．
教后反思
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第2课时作业设计
课本练习
做课本第96页习题28．2第3题，第4题，第5题．
双基与中考
一、选择题．
1．Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinB= ，则BC的长为（  ）．
   A．2
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b分别是∠A、∠B的对边，如果sinA：sinB=2：3，那么a：b等于（  ）．
A．2：3    B．3：2    C．4：9    D．9：4
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，则sinA+cosA的值（  ）．
   A．大于1    B．等于1    C．小于1    D．不能确定
4．直角三角形中两边的比是1：2，则较短边所对的角的正弦值是（  ）．
   A．       B．       C．或       D．或
5．△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，tanB的值是（  ）．
   A．
6．在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，已知AD=8，BD=4，那么tanA等于（  ）．
   A．    B．       C．
二、填空题
7．在△ABC中，∠C=90°，且cosA= ，∠B平分线的长为26，则a=_______，b=______，c=_______．
8．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，sinA= ，则BC=_____．
9．AD为Rt△ABC斜边BC上的高，已知AB=5cm，BD=3cm，那么BC=______cm．
三、解答题．
10．已知Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，求cosB及tanB的值．

11．已知Rt△ABC中，∠C=90°，b=2 ，∠A的平分线AD=  ，解这个直角三角形．

答案:
一、1．A  2．A  3．A  4．C  5．D  6．A
二、7．13 ，39，26 8．3  9．
三、10．∵∠C=90°，∠A=90°-∠B，
   ∴sinA=sin（90°-B）=cosB= ．
   又∵sinB=1-cosB=1- = ，且sinB>0．
   ∴sinB= ，∴tanB= = ．
   即：cosB= ，tanB= ．
11．在Rt△ABC中，cos∠CAD= = ．
   ∴∠CAD=30°，∠B=30°．在Rt△ACB中，c=2b=4 ，a=2 ．
第3课时  求不可到达的两点间距离
复习引入
教师讲解：本节课将利用解直角三角形知识解决生活中的许多问题．2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功．我们将应用直角三角形知识探究有关飞船运行的一些知识．
探究新知
（一）讲解例3
教师提出问题：当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行．如课本图28．2-6，当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上能直接看到的地球上最远的点在什么位置？这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6400km，结果精确到0.1km）．
教师对问题进行分析：从飞船上能直接看到的地球上最远的点，应是视线与地球相切时的切点．如图28．2-6所示，⊙O表示地球，点F是飞船的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是从飞船观察地球时的最远点．PQ的长就是地面上P、Q两点间的距离（这一点教师务必讲解清楚，千万不能用弦PQ去代替）．为了计算PQ的长需先求出∠POQ（即∠a）．
在解决例3的问题时，要综合运用圆和解直角三角形的知识．
教师要求学生思考解法，然后提问，学生回答后教师作出总结并板书；在图28．2-6中，FQ是⊙O的切线，△FCQ是直角三角形．
∵cosα ≈0.95，
∴α≈18°．
∴PQ的长为 ×6400≈1.34×640=2009.6．
由此可见，当飞船在P点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P点约2009.6km．
（二）讲解例4
教师分析题意：热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，问这栋高栋有多高？（结果精确到0.1m）
教师对解法进行分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角．因此，在课本图28．2-7中，AD是与水平面平行的直线，则α=30°，β=60°，我们可以把这道题分成两个直角三角形来解．在Rt△ABD中，a=30°，AD=120，所以可以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地在△ACD中可以求出CD．进而求出BC．
教师要求学生独立完成该题．学生做完后教师给出该题的答案并板书：
解：如课本图28．2-7，α=30°，β=60°，AD=120．
∵tanα=
∴BD=AD•tanα=120×tan30°=120× =4 ，
CD=AD•tanβ=120×tan60°=120× =120 ，
∴BC=BD+CD=40 +120 =160 ≈277.1．
答：这栋楼房约为277.1m．
随堂练习
课本93页练习第1题、第2题．
课时总结
如果问题不能归结为一个直角三角形，则应当对所求的量进行分解，将其中的一部分量归结为直角三角形中的量．
教后反思
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第3课时作业设计
课本练习
做课本第97页习题28．2第6题、第7题、第8题．
双基与中考
一、选择题．
1．某人沿倾斜角为β的斜坡前进100m，则上升的最大高度是（  ）．
   A．  m    D．100cosβm
2．从地面上的C、D两处望正西方向山顶A，仰角分别为30°和45°，C、D两处相距200m，那么山高AB为（  ）．
   A．100（ +1）m    B．100 m    C．100 m    D．200m
3．已知A、B两点，若点A对点B的仰角为θ，那么B对A的俯角是（  ）．
   A．θ    B．90°-θ    C．2θ    D．180°-θ
4．上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B处，如图，从A、B两处分别测得小岛M在北偏东45°和北偏东15°方向，那么B处船与小岛M的距离为（  ）．
A．20海里    B．20 海里
C．15 海里 D．20 海里
5．将 cosB+ sinB改写成下列形式的式子，其中写错的是（  ）．
   A．sin30°cosB+cos30°sinB;    B．sin30°cosB+sin60°sinB
   C．cos60°cosB+sin60°sinB;    D．cos60°cosB+sin30°sinB
6．如图，为测河两岸相对两抽水泵A、B的距离，在距B点30m的C处（BC⊥BA），测得∠BCA=55°，则A、B间的距离为（  ）．
A．30tan55°m    B． m
C．30sin55°m    D．30cos55°m
7．已知α是锐角，2sin（α+10°）= ，则α的度数是（  ）．
   A．20°    B．30°    C．50°    D．60°
二、填空题．
8．某人沿着坡度为1：的山坡向上走50m，这时他离水平地面_______m．
9．在倾斜角为30°的斜坡上植树，若要求两棵树的水平距离为6m，则斜坡上相邻两树的坡面距离为________m．
10．一船上午9点位于灯塔A的东北方向，在与灯塔A相距64海里的B港出发，向正西航行，到10时30分时恰好在灯塔的正北的C处，则此船的速度为________．
11．用科学计算器或数学用表求：如图，有甲、乙两楼，甲楼高AD是23米，现在想测量乙楼CB的高度．某人在甲楼的楼底A和楼顶D，分别测得乙楼的楼顶B的仰角为65°13′和45°，利用这些数据可求得乙楼的高度为______米．（结果精确到0.01米）
注：用数学用表求解时，可参照下面正切表的相关部分．
A    0`    6`    12`    18` … 1` 2` 3`
65° 2.145 2.154 2.164 2.174 … 2 3 5
12．如图，B、C是河岸边两点，A是对岸边一点，测得∠ABC=45°，∠ACB=45°，BC=60米，则点A到岸边BC的距离是________．

   (第12题)       (第13题)       (第14题)          (第15题)
13．如图，某同学用一个有60°角的直角三角板估测学生旗杆AB的高度，他将60°角的直角边水平放在1．5米高的支架CD上，三角板的斜边与旗杆的顶点在同一直线上，他又量得D、B两点的距离为5米，则旗杆AB的高度约为_______米．（精确到1米，取1.73）
14．小明想测量电线杆AB的高度，发现电线杆的影子恰好落在上坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=4米，BC=10米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度约为_______米．
三、解答题．
15．如图，在甲建筑物上从A点到E点挂一长为30m的宣传条幅，在乙建筑物的顶部D点测得条幅顶端A的仰角为45°，测得条幅底端E点的俯角为30°，求底部不能直接到达的甲、乙两建筑物之间的水平距离BC．（答案可带根号）
16．如图，在小山的东侧A处有一热气球，以每分钟28m的速度沿着与垂直方向夹角为30°的方向飞行，半小时后到达C处，这时气球上的人发现，在A处的正西方有一处着火点B，5分钟后，在D处测得着火点B的俯角是15°，求热气球升空点A与着火点B的距离．（结果保留根号，参考数据：sin15°= ，tan15°=2- ，tan75°=2+ ）

17．如图，在高25m的楼顶A处测得烟囱CD的顶部D的仰角为20°，已知楼房与烟囱之间的水平距离为150m，求烟囱CD的高度．（精确到1m）

18．已知小山的高为h，为了测得小山顶上铁塔AB的高x，在平地上选择一点P，在P点处测得B点的仰角为α，A点的仰角为β．（见下表中测量目标图）
（1）在下表中根据第一次和第二次的“测得数据”，填写“平均值”一列中α、β的数值．
（2）根据表中数据求铁塔高x的值．（精确到0.01m）
题目    测量山顶铁塔的高
测量目标

已知数据山高BC h=153.48m

测
得
数
据测得项目第一次第二次第三次
仰角α 29°17` 29°19` α=______
仰角β 34°01‘ 33°57` β=______
19．学校组织学生参加实践活动，教师要求学生测量学校附近的高压电线杆AB的高，具体有以下条件：①工具：测角仪（可测水平角、倾斜角等）、米尺、标杆（长度小于2m）等；②为了完全，不允许到距离电线杆约5m的范围内；③电线杆周围比较平坦．请你设计一个测量电线杆高度的方法．
要求：（1）简述测量方法．
（2）画出示意图（标出有关的角及线段）．
（3）求出你测量的电线杆的高h（用字母表示）．
说明：角度用字母α、β、γ等表示；距离（线段长度）用字母等表示．

答案：
一、1．B  2．A  3．A  4．B  5．D  6．A  7．C
二、8．25  9．4 10．海里/小时  11．42.73  12．30  13．10  14．8．7
三、15．过D点作DF⊥AE，垂足为F，由∠ADF=45°得AF=DF，
又EF=DF•tan∠FDE= DF，由AE=AF+EF=30，可得DF=（45-15 ）m．
16．由题意知，AD=（30+5）×28=980，
过D作DH⊥BA于H，
在Rt△DAH中，DH=AD•sin60°=980× =490 ，
AH=AD•cos60°=980× =490．
在Rt△DBH中，BH= =490 （2+ ）=1470+980 ．
∴BA=BH-AH=980（1+ ）（m）．
即热气球升空点A与着火点B的距离为980（1+ ）m．
17．过A点作AE⊥CD，垂足为E，则四边形ABCE是矩形．
∴AB=CE=25m，AE=BC=150m．  在Rt△AED中，∠DAE=20°，AE=150m．
∴DE=AE•tan∠DAE=150×tan20°≈150×0.3640=54.6m，
CD=CE+ED=25+54.6≈80（m）．  即烟囱CD的高度约为80m．
18．（1）α=29°18′，β=33°59′．
      （2）x=（cot29°18′•tan33°59′-1）×153.48≈30.88（m）．
19．（1）如图在距电线杆足够远E处（安全地带）放一标杆EF，用测角仪从标杆EF的顶端测得电线杆顶端A的仰角为β，向后退bm到C处，再放一标杆CD，用测角仪从D处测得电线杆顶端A的仰角为α．
（2）量得标杆长度为am．
（3）由于cotα=  ．
∴DM=AM•cotα，FM=AM•cotβ．
∴AM•cotα-AM•cot=b．
∴AM=
∴电线杆的高h=a+

不想再卡 · 发表于 2011-10-12 11:15:36

第4课时  方位角与方向角问题
复习引入
本节课将应用解直角三角形知识解决测量中的方位角问题．
探究新知
（一）方位角与方向角
1．方向角
教师讲解：指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角．如课本图28．2-1中的目标方向线OA，OB，OC分别表示北偏东60°，南偏东30°，北偏西70°．特别地，若目标方向线与指北或指南的方向线成45°的角，如图28．2-1的目标方向线OD与正南方向成45°角，通常称为西南方向．

            图28．2-1                         图28．2-2
2．方位角
教师讲解：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．如课本图28．2-2中，目标方向线PA，PB，PC的方位角分别是40°，135°，225°．
（二）用解直角三角形的方法解决实际问题方法要点
教师讲解：在解决实际问题时，我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题，要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素（边、角）之间的关系，这样才能很好地运用解直角三角形的方法求解．
解题时一般有以下三个步骤：
1．审题．按题意画出正确的平面或截面示意图，并通过图形弄清已知和未知．
2．将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题．如果没有现成是直角三角形可供使用，可通过作辅助线产生直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形．
3．根据直角三角形（或通过作垂线构造直角三角形）元素（边、角）之间关系解有关的直角三角形．
（三）例题讲解
教师解释题意：如课本图28．2-8所示，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处．这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（精确到0.01海里）

教师提示：这道题的解题思路与上一节课的例4相似．因为△APB不是一个直角三角形，所以我们把一个三角形分解为两个直角三角形，△ACP与△PCB．PC是东西走向的一条直线．AB是南北走向的一直线，所以AB与PC是相互垂直的，即∠ACP与∠BDP均为直角．再通过65度角与∠APC互余的关系求∠APC；通过34度角与∠BPC互余的关系求∠BPC．
教师分析后要求学生自行做完这道题．学生做完后教师再加以总结并板书．
解：如课本图28．2-8，在Rt△APC中，
PC=PA•cos（90°-65°）
=80×cos25°≈80×0.91=72.8．
在Rt△BPC中，∠B=34°，
∵sinB= ，
∴PB= ≈130.23．
因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130.23海里．
教师讲解：解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识．例如，当我们要测量如课本图28．2-9所示大坝的高度h时，只要测出仰角α和大坝的坡面长度L，就能算出h=Lsinα．但是，当我们要测量如课本图28．2-10所示的山高h时，问题就不那么简单了．这是由于不能很方便地得到仰角α和山坡长度L．

            图28．2-9                      图28．2-10
与测坝高相比，测山高的困难在于：坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的．怎样解决这样的问题呢？
我们设法“化曲为直，以直代曲”．我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段，课本图28．2-11表示其中一部分小段．划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长L1，测出相应的仰角α，这样就可以算出这段山坡的高度h1=L1sinα．

图28．2-11
在每个小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度h1，h2，……．
然后我们再“积零为整”，把h1，h2，…相加，于是得到山高h．
以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容．
随堂练习
课本第95页练习第1题、第2题．
课时总结
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
1．将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）．
2．根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形．
3．得到数学问题的答案．
4．得到实际问题的答案．
教后反思:
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第4课时作业设计
课本练习
课本第97页习题28．2拓广探索第9题、第10题．
双基与中考
一、选择题．
1．如图，轮船航行到C处时，观测到小岛B的方向是北偏西35°，那么同时从B观测到轮船的方向是（  ）．
   A．南偏西35°    B．东偏西35° C．南偏东55°    D．南偏东35°

   (第1题)                (第5题)                (第8题)
2．身高相同的三个小朋友甲、乙、丙放风筝，他们放出的线长分别是300m，250m，200m，线与地面所成的角分别为30°、45°、60°（假设风筝线是拉直的），则三人所放风筝（  ）．
   A．甲的最高    B．乙的最低    C．丙的最低    D．乙的最高
3．一日上午8时到12时，若太阳光线与地面所成角由30°增大到45°，一棵树的高为10m，则树在地面上影长h的范围是（  ）．
   A．5<h≤10    B．10≤h≤10    C．10<h<15 D．h>10
4．△ABC中，AB=6，AC=3，则∠B最大值是（  ）．
   A．30°    B．45°    C．60° D．无法确定
5．如图，水库大坝横断面为梯形，坝顶宽6m，坝高2m，斜坡AB的坡角为45°，斜坡CD的坡度i=1：2，则坝底AD的长为（  ）．
   A．42m    B．（30+24 ）m    C．78m    D．（30+8 ）m
6．△ABC中，已知 +（tanB- ）2=0且AB=4，则△ABC的面积是（  ）．
   A．4       B．4    C．2    D．2
7．一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘船以28海里/小时的速度向正东航行，半小时到B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时，灯塔M与渔船的距离是（  ）．
   A．7    B．14    C．7    D．14
8．某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时光线与地面成80°角，房屋朝南的窗子高AB=1.8m；要在窗子外面上方安装一个水平挡光板AC，使午间光线不能直接射入室内，那么挡光板AC的宽度应为（  ）．
   A．1.8tan80°m          B．1.8cos80°m
   C．                D．1.8cot80°m
9．若菱形的边长为4，它的一个内角为126°，则较短的对角线长为（  ）．
A．4sin54° B．4cos63°    C．8sin27°    D．8cos27°
10．如图，上午9时，一条船从A处出发以20海里/小时的速度向正北方向航行，11时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=36°，∠NBC=72°，那么从B处到灯塔C的距离是（  ）．
A．20海里    B．36海里    C．72海里 D．40海里

         (第10题)                   (第11题)
11．如图，一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上，某一时刻，小明竖起1米高的直杆，量得其影长为0.5米，此时，他又量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米，落在墙上的影子CD的高为2米，小明用这些数据很快算出了电线杆AB的高，请你计算电线杆AB的高为（  ）．
   A．5米    B．6米    C．7米    D．8米
二、填空题．
12．升国旗时，某同学站在离旗杆底部24m处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为30°，若双眼离地面1.5m，则旗杆高度为______m．（用含根号的式子表示）
13．在地面上一点，测得一电视塔尖的仰角为45°，沿水平方向，再向塔底前进a米，又测得塔尖的仰角为60°，那么电视塔高为________．
   14．如图一铁路路基的横断面为等腰梯形ABCD，根据图示数据得下底宽AD=______米．

                  (第14题)                   (第15题)
15．如图△ABC的顶点A、C的坐标分别是（0，4），（3，0），并且∠ACB=90°，∠B=30°，则顶点B的坐标是________．
16．如图，燕尾槽的外口宽AD=90mm，深为70mm，燕尾角为60°，则里口宽为________．

               (第16题)                      (第17题)
17．如图，从高出海平面500m的直升飞机上，测得两艘船的俯角分别为45°和30°，如果这两艘船一个在正东，一个在正西，那么它们之间的距离为______．
三、解答题．
18．甲、乙两船同时从港口O出发，甲船以16．1海里/小时的速度向东偏南35°方向航行，乙船向西偏南58°，方向航行，航行了两小时，甲船到达A处并观测到B处的乙船恰好在其正西方向，求乙船的速度v．（精确到0.1海里/小时）
（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62，cot32°≈1.60）

19．去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2千米的A、B两地之间修筑一条笔直公路（图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向，B地的北偏西45°方向的C处有一个半径为0.7千米的公园，问计算修筑的这条公路会不会穿出公园？为什么？

答案：
一、1．D  2．D  3．B  4．A  5．C  6．A  7．A  8．D  9．C  10．D  11．D
二、12．8 + 13． a米  14．29.2  15．（3+4 ，3 ）
16．（90+ ）mm  17．500（1+ ）m
三、18．由题意可知：
OA=16．1×2=32.2（海里）．
∠1=32°，∠2=58°．
∴∠AOB=180°-（∠1+∠2）
=180°-（32°+58°）=90°．
由B在A的正西方向，可得：∠A=∠1=32°．
又∵在Rt△AOB中，tanA= ，
∴OB=OA•tanA=32.2×tan32°=32.2×0.62=19.964（海里）．
∴v= =19.964÷2=9.982≈10.0（海里/小时）．
即：乙船的速度约为10.0海里/小时．
19．过点C作CD⊥AB于D，CD= -1>0.7，这条公路不会穿过公园．

小结与复习
知识结构

基础知识
1．直角三角形的边角关系：在Rt△ABC中，
∠A+∠B=90°，  a2+b2=c2，
sinA=cosB= ， cosA=sinB= ，
tanA=cotB= ， cosA=tanB= ．
2．互余两角三角函数间的关系：如∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB，cosA=sinB．
3．同角三角函数间的关系：
sin2A+cos2A=1，tanA•cotA=1，tanA= ．
4．特殊角的三角函数
三角函数 0° 30° 45° 60° 90°
  sinα    0


1
  cosα    1


0
  tanα    0
1
不存在
  cotα 不存在
1
  0
解直角三角形的基本类型
解直角三角形的基本类型及其解法如下表：
类型已知条件解法
两边两直角边a、b c= ，tanA= ，∠B=90°-∠A

一直角边a，斜边c b= ，sinA= ，∠B=90°-∠A

一边一锐角一直角边a，锐角A ∠B=90°-∠A，b=a•cotA，c=

斜边c，锐角A ∠B=90°-∠A，a=c•sinA，
b=c•cosA
解直角三角形注意点
1．尽量使用原始数据，使计算更加准确．
2．有的问题不能直接利用直角三角形内部关系解题，但可以添加合适的辅助线转化为解直角三角形的问题．
3．一些较复杂的解直角三角形的问题可以通过列方程或方程组的方法解题．
4．解直角三角形的方法可概括为“有弦（斜边）用弦（正弦、余弦），无弦有切（正切、余切），宁乘毋除，取原避中”其意指：当已知或求解中有斜边时，可用正弦或余弦；无斜边时，就用正切或余切；当所求元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求解时，则取原始数据，忌用中间数据．
5．必要时按照要求画出图形，注明已知和所求，然后研究它们置于哪个直角三角形中，应当选用什么关系式来进行计算．
6．要把添加辅助线的过程准确地写在解题过程之中．
7．解含有非基本元素的直角三角形（即直角三角形中中线、高、角平分线、周长、面积等），一般将非基本元素转化为基本元素，或转化为元素间的关系式，再通过解方程组来解．
应用题解题步骤
度量工具、工程建筑、测量距离等方面应用题的解题步骤可概括为如下几步：
第一步，审清题意，要弄清仰角、俯角、坡度、坡角、水平距离、垂直距离、水平等概念的意义．
第二步，构造出要求解的直角三角形，对于非直角三角形的图形可作适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）．
第三步，选择合适的边角关系式，使运算尽可能简便，不易出错．
第四步，按照题目中已知数的精确度进行近似计算，并按照题目要求的精确度确定答案及注明单位．
思想方法总结
1．转化思想
转化思想贯穿于本章的始终．例如，利用三角函数定义可以实现边与角的转化，利用互余两角三角函数关系可以实现“正”与“余”的互化；利用同角三角函数关系可以实现“异名”三角函数之间的互化．此外，利用解直角三角形的知识解决实际问题时，首先要把实际问题转化为数学问题．
2．数形结合思想
本章从概念的引出到公式的推导及直角三角形的解法和应用，无一不体现数形结合的思想方法．例如，在解直角三角形的问题时，常常先画出图形，使已知元素和未知元素更直观，有助于问题的顺利解决．
3．函数思想
锐角的正弦、余弦、正切、余切都是三角函数，其中都蕴含着函数的思想．例如，任意锐角a与它的正弦值是一一对应的关系．也就是说，对于锐角a任意确定的一个度数，sina都有惟一确定的值与之对应；反之，对于sina在（01）之间任意确定的一个值，锐角a都有惟一确定的一个度数与之对应．
4．方程思想
在解直角三角形时，若某个元素无法直接求出，往往设未知数，根据三角形中的边角关系列出方程，通过解方程求出所求的元素．
中考新题型
例1  计算：
   （1）sin230°-cos45°•tan60°
（2）
分析：把特殊角的三角函数值代入计算即可．
解：（1）sin30°-cos45°•tan60°= - × = -
（2）原式= +1-3×（）2+2  = +1-1+2（1- ）=2
说明：熟记30°、45°、60°角的三角函数值，是解决这类问题的关键，这类题也是中考考查的重点，在选择题和填空题中出现的更多．
例2  如右图，已知缆车行驶线与水平线间的夹角α=30°，β=45°．小明乘缆车上山，从A到B，再从B到D都走了200米（即AB=BD=200米），请根据所给的数据计算缆车垂直上升的距离．（计算结果保留整数，以下数据供选用：sin47°≈0.7314，cos47°≈0.6820，tan47°≈1.0724）
分析：缆车垂直上升的距离分成两段：BC与DF．分别在Rt△ABC和Rt△DBF中求出BC与DF，两者之和即为所求．
解：在Rt△ABC中，AB=200米，∠BAC=α=30°，
∴BC=AB•sinα=200sin30°=100（米）．
在Rt△BDF中，BD=200米，∠DBF=β47°，
∴DF=BD•sinβ=200•sin47°≈200×0.7314=146.28（米）．
∴BC+DF=100+146.28=246.28（米）．
答：缆车垂直上升了246.28米．
说明：解直角三角形在实际生活中的应用，是中考考查的重点，也是考查的热点．要解决好这类问题：一是要合理地构造合适的直角三角形；二是要熟记特殊角的三角函数值；三是要有很好的运算能力和分析问题的能力．

课时作业设计
本章单元测试．
单元测试
一、选择题．
1．在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinA= ，则BC等于（  ）．
   A．45    B．5    C．       D．
2．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若cotA= ，则cosA等于（  ）．
   A．    B．       C．       D．
3．如图，为测一河两岸相对两电线杆A、B间的距离，在距A点15米的C处（AC⊥AB）测得∠ACB=50°，则A、B之间的距离应为（  ）．
   A．15sin50°米    B．15cos50°米；  C．15tan50°米    D．15cot50°米

      (第3题)             (第6题)                (第7题)
4．如果sin2a+sin230°=1，那么锐角a的度数是（  ）．
   A．15°    B．30°    C．45°    D．60°
5．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA= ，则cosB的值为（  ）．
   A．       B．          C．       D．1
6．如图，为了测量河两岸A、B两点的距离，在与AB垂直的方向上取点C，测得AC=a，∠ACB=a，那么AB等于（  ）．
   A．a•sina    B．a•cosa    C．a•tana    D．a•cota
7．如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，D为垂足．若AC=4，BC=3，则sin∠ACD的值为（  ）．
   A．       B．       C．       D．
8．已知直角三角形中30°角所对的直角边长是2cm，则斜边的长是（  ）．
   A．2cm    B．4cm    C．6cm    D．8cm
9．在△ABC中，sinB=cos（90°-C）= ，那么△ABC是（  ）．
   A．等腰三角形 B．等边三角形
   C．直角三角形 D．等腰直角三角形
10．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，BC=5，则下列各式中正确的是（  ）．
A．sinA=    B．cosA=    C．tanA=    D．cotA=
11．如图，为测楼房BC的高，在距离房30米的A处测得楼顶的仰角为α，则楼高BC的高为（  ）．
A．30tanα米    B．米

               (第11题)                   (第12题)
12．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA= ，则AD的长为（  ）．
   A．       B．2    C．1    D．2
二、填空题．
13．如图，如果△APB绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A′P′B′，且BP=2，那么PP′的长为________．
（不取近似值，以下数据供解题使用：sin15°= ）

      (第13题)             (第14题)             (第21题)
14．如图，沿倾斜角为33°的山坡植树，要求相邻两棵树的水平距离AC为2m，那么相邻两棵树的斜坡距离AB约为________m．（精确到0.01m）
15．sin30°=________．
16．用计算器计算： sin40°=________．（精确到0.01）
17．若圆周角α所对弦长为sinα，则此圆的半径r为_______．
18．锐角A满足2sin（A-15°）= ，则∠A=________．
19．计算：3tan30°+cot45°-2tan45°-2cos60°=_________．
20．已知A是锐角，且sinA= ，则cos（90°-A）=________．
21．为了测量一个圆形铁环的半径（如图），某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若测得PA=5cm，则铁环的半径是______cm．
三、计算题．
22．计算： -2sin60°-（ +2）．

23．计算：cos60°+ - -2-1．

24．计算：（1）sin30°+cos45°+tan60°-cot30°．

（2）

25．若方程2x2+（4sinθ）x+1=0（0<θ<90°）有两个相等的实数根，求θ的值．

四、解答题．
26．如图，为申办2010年冬奥会，需改变哈尔滨市的交通状况．在大道拓宽工程中，要伐掉一棵树AB，在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形区域为危险区，现在某工人站在离B点3米处的D处测得树的顶端A点的仰角为60°，树的底部B点的俯角为30°，问距离B点8米远的保护物是否在危险区内？（取1.73）

27．我边防战士在海拔高度（即CD的长）为50米的小岛顶部D处执行任务，上午8时发现在海面上的A处有一艘船，此时测得该船的俯角为30°，该船沿着AC方向航行一段时间后到达B处，又测得该船的俯角为45°，求该船在这一段时间内的航程．（计算结果保留根号）

28．如图，在离地面高度5米处引拉线固定电线杆，拉线和地面成58°，求拉线下端点A与杆底D的距离AD．（精确到0.01米）

答案：
一、1．B  2．B  3．C  4．D  5．B  6．C  7．C  8．B  9．A  10．B  11．A  12．B
二、13． - 14．2.38  15． 16．1.10  17． 18．75°  19． -2  20． 21．5
三、22．解： -2sin60°-（ +2）0=2 - -1= -1．
   23．解：原式= + -2 - =- ．
   24．（1）（2）1 25．θ=45°．
四、26．过点C作CE⊥AB于E，Rt△CBE中，tan30°= ，
∴BE=CE•tan30°= ．
Rt△CAE中，tan60°= ，
∴AE=CE•tan60°=3 ．
∴AB=AE+BE=4 ≈4×1.73=6.92<8．
∴保护物不在危险区．
27．解：根据题意，∠ADC=60°，∠BDC=∠DBC=45°，
∴BC=DC=50．
在Rt△ADC中，AC=CD×tan∠ADC=50 ．
AB=AC-BC=50（ -1）（米）．
答：该船在这段时间内的航程为50（ -1）米．
28．解：在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠CAD=58°，CD=5米．
∵tan∠CAD= ，
∴AD= ≈3.12（米）．
答：拉线下端点A与杆底D的距离AD约为3.12米．

【锐角三角函数全章教案】
锐角三角函数（第一课时）
教学三维目标：
一.知识目标：初步了解正弦、余弦、正切概念；能较正确地用siaA、cosA、tanA表示直角三角形中两边的比；熟记功30°、45°、60°角的三角函数，并能根据这些值说出对应的锐角度数。
二.能力目标：逐步培养学生观察、比较、分析，概括的思维能力。
三.情感目标：提高学生对几何图形美的认识。
教材分析：
1．教学重点: 正弦，余弦，正切概念
2．教学难点:用含有几个字母的符号组siaA、cosA、tanA表示正弦，余弦，正切
教学程序：
一．探究活动
1．课本引入问题，再结合特殊角30°、45°、60°的直角三角形探究直角三角形的边角关系。
2．归纳三角函数定义。
   siaA= ,cosA= ,tanA=
3例1.求如图所示的Rt ⊿ABC中的siaA,cosA,tanA的值。

4.学生练习P21练习1，2，3
二．探究活动二
1.让学生画30°45°60°的直角三角形,分别求sia 30°cos45°    tan60°
归纳结果
30° 45° 60°
siaA
cosA
tanA

2. 求下列各式的值
（1）sia 30°+cos30°（2） sia 45°- cos30°(3) +ta60°-tan30°
三．拓展提高P82例4.（略）
1. 如图在⊿ABC中,∠A=30°,tanB= ,AC=2 ,求AB
四．小结
五．作业课本p85－86  2,3,6,7,8,10

解直角三角形应用（一）
一．教学三维目标
(一)知识目标
使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．
(二)能力训练点
通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
(三)情感目标
渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．
二、教学重点、难点和疑点
1．重点：直角三角形的解法．
2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．
3．疑点：学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边．
三、教学过程
(一)知识回顾
1．在三角形中共有几个元素？
2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？
(1)边角之间关系    sinA= cosA= tanA=
(2)三边之间关系
a2  +b2  =c2 (勾股定理)
(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．
以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用．
（二）探究活动
1．我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情．
2．教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边？”让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？(由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形)．
3．例题评析
例  1在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b=    a= ，解这个三角形．
例2在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b=  20 =35 ，解这个三角形（精确到0.1）．
解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演．
完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”
答：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边．计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底．
例 3在Rt△ABC中，a=104.0，b=20.49，解这个三角形．
(三) 巩固练习
在△ABC中，∠C为直角，AC=6，的平分线AD=4 ，解此直角三角形。
解直角三角形是解实际应用题的基础，因此必须使学生熟练掌握．为此，教材配备了练习针对各种条件，使学生熟练解直角三角形，并培养学生运算能力．
(四)总结与扩展
请学生小结：1在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素(至少有一个是边)，就可以求出另三个元素．          2解决问题要结合图形。
四、布置作业
．p96 第1，2题

解直三角形应用（二）
一．教学三维目标
(一)、知识目标
使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．
(二)、能力目标
逐步培养分析问题、解决问题的能力．
二、教学重点、难点和疑点
1．重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．
2．难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．
三、教学过程
（一）回忆知识
1．解直角三角形指什么？
2．解直角三角形主要依据什么？
(1)勾股定理：a2+b2=c2
(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=90°

(3)边角之间的关系： tanA=
（二）新授概念
1．仰角、俯角
当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．
教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义．
2．例1
如图(6-16)，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B的俯角α=16°31′，求飞机A到控制点B距离(精确到1米)
解：在Rt△ABC中sinB= AB= = =4221(米)
答：飞机A到控制点B的距离约为4221米．
例2.2003年10月15日“神州”5号载人航天飞船发射成功。当飞船完成变轨后，就在离地形表面350km的圆形轨道上运行。如图，当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上能直接看到地球上最远的点在什么位置？这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6400km，结果精确到0.1km）
分析：从飞船上能看到的地球上最远的点，应是视线与地球相切时的切点。将问题放到直角三角形FOQ中解决。

．
解决此问题的关键是在于把它转化为数学问题，利用解直角三角形知识来解决，在此之前，学生曾经接触到通过把实际问题转化为数学问题后，用数学方法来解决问题的方法，但不太熟练．因此，解决此题的关键是转化实际问题为数学问题，转化过程中着重请学生画几何图形，并说出题目中每句话对应图中哪个角或边(包括已知什么和求什么)，会利用平行线的内错角相等的性质由已知的俯角α得出Rt△ABC中的∠ABC，进而利用解直角三角形的知识就可以解此题了．
例1小结：本章引言中的例子和例1正好属于应用同一关系式 sinA=
来解决的两个实际问题即已知和斜边，
求∠α的对边；以及已知∠α和对边，求斜边．
（三）．巩固练习
1．热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为60 ，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1`m）
2．如图6-17，某海岛上的观察所A发现海上某船只B并测得其俯角α=80°14′．已知观察所A的标高(当水位为0m时的高度)为43.74m，当时水位为+2.63m，求观察所A到船只B的水平距离BC(精确到1m)
教师在学生充分地思考后，应引导学生分析：
（1）．谁能将实物图形抽象为几何图形？请一名同学上黑板画出来．
（2）．请学生结合图形独立完成。
3 如图6-19，已知A、B两点间的距离是160米，从A点看B点的仰角是11°，AC长为1.5米，求BD的高及水平距离CD．
此题在例1的基础上，又加深了一步，须由A作一条平行于CD的直线交BD于E，构造出Rt△ABE，然后进一步求出AE、BE，进而求出BD与CD．
设置此题，既使成绩较好的学生有足够的训练，同时对较差学生又是巩固，达到分层次教学的目的．
练习：为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角∠ACD=52°，已知人的高度为1.72米，求树高(精确到0.01米)．
要求学生根据题意能画图，把实际问题转化为数学问题，利用解直角三角形的知识来解决它．
(四)总结与扩展
请学生总结：本节课通过两个例题的讲解，要求同学们会将某些实际问题转化为解直角三角形问题去解决；今后，我们要善于用数学知识解决实际问题．
四、布置作业
1．课本p96 第 3，.4，.6题


解直三角形应用（三）
（一）教学三维目标
(一)知识目标
使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．
(二)能力目标
逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
(三)情感目标
渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识．
二、教学重点、难点
1．重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．
2．难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．
三、教学过程
1．导入新课
上节课我们解决的实际问题是应用正弦及余弦解直角三角形，在实际问题中有时还经常应用正切和余切来解直角三角形，从而使问题得到解决．
2．例题分析
例1．如图6-21，厂房屋顶人字架(等腰三角形)的跨度为10米，∠A-26°，
求中柱BC(C为底边中点)和上弦AB的长(精确到0.01米)．
分析：上图是本题的示意图，同学们对照图形，根据题意思考题目中的每句话对应图中的哪个角或边，本题已知什么，求什么？
由题意知，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，∠A=26°，AC=5米，可利用解Rt△ABC的方法求出BC和AB．
学生在把实际问题转化为数学问题后，大部分学生可自行完成
例题小结：求出中柱BC的长为2.44米后，我们也可以利用正弦计算上弦AB的长。
如果在引导学生讨论后小结，效果会更好，不仅使学生掌握选何关系式，更重要的是知道为什么选这个关系式，以培养学生分析问题、解决问题的能力及计算能力，形成良好的学习习惯．
另外，本题是把解等腰三角形的问题转化为直角三角形的问题，渗透了转化的数学思想．
例2．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65 方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南东34 方向上的B处。这时，海轮所在的B
处距离灯塔P有多远(精确到0.01海里)？
引导学生根据示意图，说明本题已知什么，求什么，利用哪个三角形来求解，用正弦、余弦、正切、余切中的哪一种解较为简便？
3巩固练习
为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角∠ACD=52°，
已知人的高度是1.72米，求树高(精确到0.01米)．
首先请学生结合题意画几何图形，并把实际问题转化为数学问题．
Rt△ACD中，∠D=Rt∠，∠ACD=52°，CD=BE=15米，CE=DB=1.72米，求AB？
(三)总结与扩展
请学生总结：通过学习两个例题，初步学会把一些实际问题转化为数学问题，通过解直角三角形来解决，具体说，本节课通过让学生把实际问题转化为数学问题，利用正切或余切解直角三角形，从而把问题解决．
本课涉及到一种重要教学思想：转化思想．
四、布置作业
1．某一时刻，太阳光线与地平面的夹角为78°，此时测得烟囱的影长为5米，求烟囱的高(精确到0.1米)．
2．如图6-24，在高出地平面50米的小山上有一塔AB，在地面D测得塔顶A和塔基B的仰面分别为50°和45°，求塔高．
3．在宽为30米的街道东西两旁各有一楼房，从东楼底望西楼顶仰角为45°，从西楼顶望东楼顶，俯角为10°，求西楼高(精确到0.1米)．


解直三角形应用（四）
一．教学三维目标
(一)知识目标致
使学生懂得什么是横断面图，能把一些较复杂的图形转化为解直角三角形的问题．
(二)能力目标
逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
(三)情感目标
培养学生用数学的意识；渗透转化思想；渗透数学来源于实践又作用于实践的观点．
二、教学重点、难点
1．重点：把等腰梯形转化为解直角三角形问题；
2．难点：如何添作适当的辅助线．
三、教学过程
1．出示已准备的泥燕尾槽，让学生有感视印象，将其横向垂直于燕尾槽的平面切割，得横截面，请学生通过观察，认识到这是一个等腰梯形，并结合图形，向学生介绍一些专用术语，使学生知道，图中燕尾角对应哪一个角，外口、内口和深度对应哪一条线段．这一介绍，使学生对本节课内容很感兴趣，激发了学生的学习热情．
2．例题
例  燕尾槽的横断面是等腰梯形，图6-26是一燕尾槽的横断面，其中燕尾角B是55°，外口宽AD是180mm，燕尾槽的深度是70mm，求它的里口宽BC(精确到1mm)．
分析：(1)引导学生将上述问题转化为数学问题；等腰梯形ABCD中，上底AD=180mm，高AE=70mm，∠B=55°，求下底BC．
(2)让学生展开讨论，因为上节课通过做等腰三角形的高把其分割为直角三角形，从而利用解直角三角形的知识来求解．学生对这一转化有所了解．因此，学生经互相讨论，完全可以解决这一问题．
例题小结：遇到有关等腰梯形的问题，应考虑如何添加辅助线，将其转化为直角三角形和矩形的组合图形，从而把求等腰梯形的下底的问题转化成解直角三角形的问题．
3．巩固练习
如图6-27，在离地面高度5米处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，求拉线AC的长以及拉线下端点A与杆底D的距离AD(精确到0.01米)．

分析：(1)请学生审题：因为电线杆与地面应是垂直的，那么图6-27中△ACD是直角三角形．其中CD=5m，∠CAD=60°，求AD、AC的长．
(2)学生运用已有知识独立解决此题．教师巡视之后讲评．
(三)小结
请学生作小结，教师补充．
本节课教学内容仍是解直角三角形，但问题已是处理一些实际应用题，在这些问题中，有较多的专业术语，关键是要分清每一术语是指哪个元素，再看是否放在同一直角三角形中，这时要灵活，必要时还要作辅助线，再把问题放在直角三角形中解决．在用三角函数时，要正确判断边角关系．
四、布置作业
1．如图6-28，在等腰梯形ABCD中，DC∥AB， DE⊥AB于E，
AB=8, DE=4, cosA= , 求CD的长.2．教材课本习题P96第6，7，8题

解直三角形应用（五）
一．教学三维目标
(一)知识目标明
巩固直角三角形中锐角的三角函数，学会解关于坡度角和有关角度的问题．
(二)能力目标
逐步培养学生分析问题解决问题的能力，进一步渗透数形结合的数学思想和方法．
(三)德育目标
培养学生用数学的意识；渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的辩证唯物主义观点．
二、教学重点、难点和疑点
1．重点：能熟练运用有关三角函数知识．
2．难点：解决实际问题．
3．疑点：株距指相邻两树间的水平距离，学生往往理解为相邻两树间的距离而造成错误．
三、教学过程
1．探究活动一
教师出示投影片，出示例题．
例1  如图6-29，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到0.1m)．

分析：1．例题中出现许多术语——株距，倾斜角，这些概念学生未接触过，比较生疏，而株距概念又是学生易记错之处，因此教师最好准备教具：用木板钉成一斜坡，再在斜坡上钉几个铁钉，利用这种直观教具更容易说明术语，符合学生的思维特点．
2．引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形(上图6-29(2))．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5.5，∠A=24°，求AB．
3．学生运用解直角三角形知识完全可以独立解决例1．教师可请一名同学上黑板做，其余同学在练习本上做，教师巡视．

答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米．
教师引导学生评价黑板上的解题过程，做到全体学生都掌握．
2．探究活动二
例2  如图6-30，沿AC方向开山修渠，为了加快施工速度，要从小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=140°，BD=52cm，∠D=50°，那么开挖点E离D多远(精确到0.1m)，正好能使A、C、E成一条直线？

这是实际施工中经常遇到的问题．应首先引导学生将实际问题转化为数学问题．
由题目的已知条件，∠D=50°，∠ABD=140°，BD=520米，求DE为多少时，A、C、E在一条直线上。
学生观察图形，不难发现，∠E=90°，这样此题就转化为解直角三角形的问题了，全班学生应该能独立准确地完成．
解：要使A、C、E在同一直线上，则∠ABD是△BDE的一个外角．
∴∠BED=∠ABD-∠D=90°．
∴DE=BD•cosD
=520×0.6428=334.256≈334.3(m)．
答：开挖点E离D334.3米，正好能使A、C、E成一直线，
提到角度问题，初一教材曾提到过方向角，但应用较少．因此本节课很有必要补充一道涉及方向角的实际应用问题，出示投影片．
练习P95    练习1，2。
补充题：正午10点整，一渔轮在小岛O的北偏东30°方向，距离等于10海里的A处，正以每小时10海里的速度向南偏东60°方向航行．那么渔轮到达小岛O的正东方向是什么时间？(精确到1分)．
学生虽然在初一接触过方向角，但应用很少，所以学生在解决这个问题时，可能出现不会画图，无法将实际问题转化为几何问题的情况．因此教师在学生独自尝试之后应加以引导：
(1)确定小岛O点；(2)画出10时船的位置A；(3)小船在A点向南偏东60°航行，到达O的正东方向位置在哪？设为B；(4)结合图形引导学生加以分析，可以解决这一问题．
此题的解答过程非常简单，对于程度较好的班级可以口答，以节省时间补充一道有关方向角的应用问题，达到熟练程度．对于程度一般的班级可以不必再补充，只需理解前三例即可．

补充题：如图6-32，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？
如果时间允许，教师可组织学生探讨此题，以加深对方向角的运用．同时，学生对这种问题也非常感兴趣，教师可通过此题创设良好的课堂气氛，激发学生的学习兴趣．
若时间不够，此题可作为思考题请学生课后思考．
(三)小结与扩展
教师请学生总结：在这类实际应用题中，都是直接或间接地把问题放在直角三角形中，虽然有一些专业术语，但要明确各术语指的什么元素，要善于发现直角三角形，用三角函数等知识解决问题．
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案。
四、布置作业
课本习题P97 9，10

解直三角形应用
一、
(一)知识教学点
巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决坡度问题．
(二)能力目标
逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．
(三)德育目标
培养学生用数学的意识，渗透理论联系实际的观点．
二、教学重点、难点和疑点
1．重点：解决有关坡度的实际问题．
2．难点：理解坡度的有关术语．
3．疑点：对于坡度i表示成1∶m的形式学生易疏忽，教学中应着重强调，引起学生的重视．
三、教学过程
1．创设情境，导入新课．
例  同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图6-33
水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)．
同学们因为你称他们为工程师而骄傲，满腔热情，但一见问题又手足失措，因为连题中的术语坡度、坡角等他们都不清楚．这时，教师应根据学生想学的心情，及时点拨．
通过前面例题的教学，学生已基本了解解实际应用题的方法，会将实际问题抽象为几何问题加以解决．但此题中提到的坡度与坡角的概念对学生来说比较生疏，同时这两个概念在实际生产、生活中又有十分重要的应用，因此本节课关键是使学生理解坡度与坡角的意义．
介绍概念
坡度与坡角
结合图6-34，教师讲述坡度概念，并板书：坡面的铅直高度h和水
平宽度的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示。即ｉ＝，
把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．
引导学生结合图形思考，坡度i与坡角α之间具有什么关系？
  答：i＝＝tan
这一关系在实际问题中经常用到，教师不妨设置练习，加以巩固．
练习(1)一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______； ______，坡角 ______度．
为了加深对坡度与坡角的理解，培养学生空间想象力，教师还可以提问：
(1)坡面铅直高度一定，其坡角、坡度和坡面水平宽度有什么关系？举例说明．
(2)坡面水平宽度一定，铅直高度与坡度有何关系，举例说明．
答：(1)
如图，铅直高度AB一定，水平宽度BC增加，α将变小，坡度减小，
因为 tan ＝，AB不变，tan 随BC增大而减小
(2)

与(1)相反，水平宽度BC不变，α将随铅直高度增大而增大，tanα
  也随之增大，因为tan = 不变时，tan 随AB的增大而增大
2．讲授新课
引导学生分析例题，图中ABCD是梯形，若BE⊥AD，CF⊥AD，梯形就被分割成Rt△ABE，矩形BEFC和Rt△CFD，AD=AE+EF+FD，AE、DF可在△ABE和△CDF中通过坡度求出，EF=BC=6m，从而求出AD．
以上分析最好在学生充分思考后由学生完成，以培养学生逻辑思维能力及良好的学习习惯．
坡度问题计算过程很繁琐，因此教师一定要做好示范，并严格要求学生，选择最简练、准确的方法计算，以培养学生运算能力．
解：作BE⊥AD，CF⊥AD，在Rt△ABE和Rt△CDF中，
  ∴AE=3BE=3×23=69(m)．
FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m)．
∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m)．
  因为斜坡AB的坡度i＝tan ＝ ≈0.3333，查表得
α≈18°26′

答：斜坡AB的坡角α约为18°26′，坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米．

3．巩固练习
(1)教材P124. 2
由于坡度问题计算较为复杂，因此要求全体学生要熟练掌握，可能基础较好的学生会很快做完，教师可再给布置一题．
(2)利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图6-35阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：
①横断面(等腰梯形)ABCD的面积；
②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．
分析：1．引导学生将实际问题转化为数学问题．
2．要求S等腰梯形ABCD，首先要求出AD，如何利用条件求AD？
3．土方数=S•l
  ∴AE=1.5×0.6=0.9(米)．
∵等腰梯形ABCD，
∴FD=AE=0.9(米)．
∴AD=2×0.9+0.5=2.3(米)．
总土方数=截面积×渠长 =0.8×100=80(米3)．
答：横断面ABCD面积为0.8平方米，修一条长为100米的渠道要挖出的土方数为80立方米．
(四)总结与扩展
引导学生回忆前述例题，进行总结，以培养学生的概括能力．
1．弄清俯角、仰角、株距、坡度、坡角、水平距离、垂直距离、水位等概念的意义，明确各术语与示意图中的什么元素对应，只有明确这些概念，才能恰当地把实际问题转化为数学问题．
2．认真分析题意、画图并找出要求的直角三角形，或通过添加辅助线构造直角三角形来解决问题．
3．选择合适的边角关系式，使计算尽可能简单，且不易出错．
4．按照题中的精确度进行计算，并按照题目中要求的精确度确定答案以及注明单位．
四、布置作业
1．看教材，培养看书习惯，作本章小结．
2．课本习题P96第5，8题

不想再卡 · 发表于 2011-10-12 11:15:46

教学内容:29.1投影（1）
教学目标：
1、经历实践探索，了解投影、投影面、平行投影和中心投影的概念；
2、了角平行投影和中心投影的区别。
3、使学生学会关注生活中有关投影的数学问题，提高数学的应用意识。
教学重、难点
教学重点：理解平行投影和中心投影的特征；
教学难点：在投影面上画出平面图形的平行投影或中心投影。
教学资源:多媒体
教学方法:自主阅读法,引导探索法
教学过程：
（一）创设情境
你看过皮影戏吗? 皮影戏又名“灯影子”，是我国民间一种古老而奇特的戏曲艺术，在关中地区很为流行。皮影戏演出简便，表演领域广阔，演技细腻，活跃于广大农村，深受农民的欢迎。（有条件的）放映电影《小兵张嘎》部分片段 ---小胖墩和他爸在日军炮台内为日本鬼子表演皮影戏
(二）你知道吗
出示投影：
北京故宫中的日晷闻名世界,是我国光辉出灿烂文化的瑰宝.它是我国古代利用日影测定时刻的仪器,它由“晷面”与“晷针”组成，当太阳光照在日晷中轴上产生投影，晷针的影子就会投向晷面，随着时间的推移，晷针的影的长度发生变化,晷针的影子在晷面上慢慢移动，聪明的古人以此来显示时刻．
问题：那什么是投影呢？
出示投影让学生感受在日常生活中的一些投影现象。

一般地.用光线照射物体.在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影.照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面.
有时光线是一组互相平行的射线.例如太阳光或探照灯光的一束光中的光线(如图).由平行光线形成的投影是平行投影.例如.物体在太阳光的照射下形成的影子(简称日影)就是平行投影.
由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影.例如.物体在灯泡发出的光照射下形成影子就是中心投影.

（三）问题探究（在课前布置，以数学学习小组为单位）
探究平行投影和中心投影和性质和区别
1、以数学习小组为单位，观察在太阳光线下，木杆和三角形纸板在地面的投影。
2、不断改变木杆和三角形纸板的位置，什么时候木杆的影子成为一点，三角形纸板的影子是一条线段？当木杆的影子与木杆长度相等时，你发现木杆在什么位置？三角形纸板在什么位置时，它的影子恰好与三角形纸板成为全等图形？还有其他情况吗？
3、由于中心投影与平行投影的投射线具有不同的性质，因此，在这两种投影下，物体的影子也就有明显的差别。如图4-14，当线段AB与投影面平行时，AB的中心投影A‘B’把线段AB放大了，且AB∥A’B‘，△OAB～ OA‘B’.又如图4-15，当△ABC所在的平面与投影面平行时， △ABC的中心投影△A‘B’C‘也把△ABC放大了，从△ABC到△A‘B’C‘是我们熟悉的位似变换。

4、请观察平行投影和中心投影，它们有什么相同点与不同点？
平行投影与中心投影的区别与联系
区    别联系
光线物体与投影面平行时的投影
平行投影平行的投射线全等都是物体在光线的照射下，在某个平面内形成的影子。(即都是投影)
中心投影从一点出发的投射线放大(位似变换)
（四）应用新知：
（1）地面上直立一根标杆AB如图，杆长为2cm。
①当阳光垂直照射地面时，标杆在地面上的投影是什么图形？
②当阳光与地面的倾斜角为60°时，标杆在地面上的投影是什么图形？并画出投影示意图；
（2）一个正方形纸板ABCD和投影面平行（如图），投射线和投影面垂直，点C在投影面的对应点为C’，请画出正方形纸板的投影示意图。

（3）两幅图表示两根标杆在同一时刻的投影.请在图中画出形成投影的光线.它们是平行投影还是中心投影？并说明理由。
解：分别连结标杆的顶端与投影上的对应点(图4-17).很明显，图(1)的投射线互相平行，是平行投影.图(2)的投射线相交于一点，是中心投影。
四、学习反思：
我们这节课学习了什么知识？
五、作业：
画出一个四边形的不同平行投影图和中心投影图
教学后记:

教学内容:29.1投影（二）
教学目标：
1、了解正投影的概念；
2、能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影
3、培养动手实践能力，发展空间想象能力。
教学重、难点
重点：正投影的含义及能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影
难点：归纳正投影的性质,正确画出简单平面图形的正投影
教学资源:教材,多媒体课件
教学方法:合作学习法,引导探索法
教学过程：
（一）复习引入新课
下图表示一块三角尺在光线照射下形成投影，其中哪个是平行投影哪个是中心投影?图(2) (3)的投影线与投影面的位置关系有什么区别?

解：结论:图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影;图(2) (3)中，投影线互相平行，形成平行投影;图(2)中，投影线斜着照射投影面;图(3)中投影线垂直照射投影面〔即投影线正对着投影面).
指出：在平行投影中，如果投射线垂直于投影面，那么这种投影就称为正投影。
（二）合作学习，探究新知
1、如图，把一根直的细铁丝(记为安线段AB)放在三个不同位置:
(1)铁丝平行于投影面;
(2)铁丝倾斜于投影面，
(3)铁丝垂直于投影面(铁丝不一定要与投影面有公共点).
三种情形下铁丝的正投影各是什么形状

通过观察，我们可以发现;
(1)当线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，线段与它的投影的大小关系为AB  = A1B1
(2)当线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，线段与它的投影的大小关系为AB > A2B2
(3)当线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点A3
2、如图，把一块正方形硬纸板P(例如正方形ABCD)放在三个不同位置:
(1)纸板平行于投影面;
(2)纸板倾斜于投影面;
(3)纸板垂直于投影面

结论

1)当纸板P平行于投影面Q时. P的正投影与P的形状、大小一样;
(2)当纸板P倾斜于投影面Q时. P的正投影与P的形状、大小发生变化;
(3)当纸板P垂直于投影面Q时. P的正投影成为一条线段.
当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同.
3、例1画出如图摆放的正方体在投影面P上的正投影.
(1)正方体的一个面ABCD平行于投影面P图(1);
(2)正方体的一个面ABCD倾斜于投影面F，上底面ADEF垂直于投影面P，并且上底面的对角线AE垂直于投影面P图 (2).

分析口述画图要领
解答按课本板书
4、练习
（1）P112  练习和习题29.1 1、2、5
三、作业
P113 3、4
教学后记:

教学内容: 29.2 三视图（一）
教学目标
1.会从投影的角度理解视图的概念
2.会画简单几何体的三视图
3.通过观察探究等活动使学生知道物体的三视图与正投影的相互关系及三视图中位置关系、大小关系。
教学重、难点
重点：从投影的角度加深对三视图的理解和会画简单的三视图
难点：对三视图概念理解的升华及正确画出三棱柱的三视图
教学资源:教材,多媒体课件
教学方法:合作学习法,引导探索法
教学过程
（一）创设情境，引入新课
这个水平投影能完全反映这个物体的形状和大小吗？如不能，那么还需哪些投影面？
物体的正投影从一个方向反映了物体的形状和大小，为了全面地反映一个物体的形状和大小，我们常常再选择正面和侧面两个投影面，画出物体的正投影。
如图 (1)，我们用三个互相垂直的平面
作为投影面，其中正对着我们的叫做正面，正面下方的叫做水平面，右边的叫做侧面.一个物体(例如一个长方体)在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图，在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图;在侧面内得到由左向右观察物体的视图，叫做左视图.
如图(2)，将三个投影面展开在一个平面
内，得到这一物体的一张三视图(由主视图，俯视图和左视图组成).三视图中的各视图，分别从不同方面表示物体，三者合起来就能够较全面地反映物体的形状.
三视图中，主视图与俯视图表示同一物体的长，主视图与左视图表示同一物体的高.左视图与俯视图表示同一物体的宽，因此三个视图的大小是互相联系的.画三视图时.三个视图要放在正确的位置.并且使主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐.左视图与俯视图的宽相等
通过以上的学习，你有什么发现？
物体的三视图实际上是物体在三个不同方向的正投影.正投影面上的正投影就是主视图，水平投影面上的正投影就是俯视图，侧投影面上的正投影就是左视图
（二）应用新知
例1画出下图2所示的一些基本几何体的三视图.

分析:画这些基本几何体的三视图时，要注意从三个方面观察它们.具体画法为:
1.确定主视图的位置，画出主视图;
2.在主视图正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”。
3.在主视图正右方画出左视图.注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”.
解：

练习：
1、
2、你能画出下图1中几何体的三视图吗小明画出了它们的三种视图(图2),他画的对吗请你判断一下.
四、小结
1、画一个立体图形的三视图时要考虑从某一个方向看物体获得的平面图形的形状和大小，不要受到该方向的物体结构的干扰。
2、在画三视图时，三个三视图不要随意乱放，应做到俯视图在主视图的下方，左视图在主视图的右边，三个视图之间保持：长对正，高平齐，宽相等。
五、作业：
教材第123页第1题
教学后记:

教学内容:三视图（二）
教学目标：
1、进一步明确正投影与三视图的关系
2、经历探索简单立体图形的三视图的画法，能识别物体的三视图；
3、培养动手实践能力，发展空间想象能力。
教学重点、难点
重点：简单立体图形的三视图的画法
难点：三视图中三个位置关系的理解
教学资源:教材,教参,多媒体课件
教学方法:阅读探索法
三、教学过程：
（一）复习引入
1、画一个立体图形的三视图时要注意什么？（上节课中的小结内容）
2、说一说：直三棱柱、圆柱、圆锥、球的三视图
3、做一做：画出下列几何体的三视图

4、讲一讲：你知道正投影与三视图的关系获                图29.2-7
（二）讲解例题
例2.画出如图所示的支架(一种小零件)的三视图.
分析:支架的形状，由两个大小不等的长方体构
成的组合体.画三视四时要注意这两个长方体的上下、
前后位置关系.
解:如图29.2-7是支架的三视图
例3.右图是一根钢管的直观图，画出它的三视图
分析.钢管有内外壁，从一定角度看它时，看不见内壁.为全面地反映立体图形的形状，画图时规定;看得见部分的轮廓线画成实线.因被其他那分遮挡
而看不见部分的轮廓线画成虚线.                   图29.2-9
解:图如图29.2-7是钢管的三视图，其中的虚线表示钢管的内壁.
(三)巩固再现
1、P119  练习
2、一个六角螺帽的毛坯如图,底面正六边形的边长为250mm,高为 200mm,内孔直径为200mm.请画出六角螺帽毛坯的三视图.

四、作业
教材第123页第2,3题
教学后记:

教学内容: 三视图（三）
教学目标：
1、学会根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型；
2、经历探索简单的几何体的三视图的还原，进一步发展空间想象能力。
教学重点,难点：根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型
教学资源:教材,教参,多媒体课件
教学方法:引导阅读法,阅读探索法
教学过程：
（一）复习引入
前面我们讨论了由立体图形（实物）画出三视图，那么由三视图能否也想象出立体图形（实物）呢？引导学生结合例例例的三视图想象一下构造还原过程（发展空间想象能力）
(二）新课学习
例4根据下面的三视图说出立体图形的名称.

分析:由三视图想象立体图形时，要先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的前面、上面和左侧面，然后再综合起来考虑整体图形，
解

1)从三个方向看立体图形，图象都是矩形，可以想象出:整体是长方体，如图(1)所示;
(2)从正面、侧面看立体图形，图象都是等腰三角形;从上面看，图象是圆;可以想象出:整体是圆锥，如图(2)所示.
例5,根据物体的三视图(如下图)描述物体的形状.
分析.由主视图可知，物体正面是正五边形，由俯视图可知，由上向下看物体是矩形的，且有一条棱(中间的实线)可见到。两条棱(虚线)被遮挡，由左视图知,物体的侧面是矩形的.且有一条棱〔中间的实线)可见到,综合各视图可知，物体是五棱柱形状的.
解:物体是五棱柱形状的，如下图所示.
（三）巩固再现
1、P121 练习
2、如图所示图形是一个多面体的三视图，请根据视图说出该多面体的具体名称。

三、小结：
1、一个视图不能确定物体的空间形状，根据三视图要描述几何体或实物原型时，必须将各视图对照起来看。
2、一个摆好的几何体的视图是唯一的，但从视图反过来考虑几何体时，它有多种可能性。例如：正方体的主视图是正方形，但主视图是正方形的几何体有直三棱柱、长方体、圆柱等。
3、对于较复杂的物体，有三视图形象出物体的原型，应搞清三个视图之间的前后、左右、上下的对应关系。
四、作业
教材第123页第4题
教学后记:

教学内容: 三视图（四）
教学目标
1、学会根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型；
2、经历探索简单的几何体的三视图的还原，进一步发展空间想象能力；
3、了解将三视图转换成立体图开在生产中的作用，使学生体会到所学的知识有重要的实用价值。
教学重点、难点
重点：根据三视图描述基本几何体和实物原型及三视图在生产中的作用
难点：根据三视图想象基本几何体和实物原型的形状
教学资源:教材,教参,多媒体课件
教学过程
（一）复习引入
1、完成下列练习
（1）、如图所示是一个立体图形的三视图，请根据视图说出立体图形的名称_______。

（2）、一张桌子摆放若干碟子，从三个方向上看，三种视图如下图所示，则这张桌子上共有________个碟子。

（3）、某几何体的三种视图分别如下图所示，那么这个几何体可能是（）。

（A）长方体（B）圆柱（C）圆锥（D）球
2、让学生欣赏事先准备好的机械制图中三视图与对应立体图形的图片，借助图片信息让学生体会到本章知识的价值。并借此可以讲述一下现在一些中专、中技甚至大学里开设的模具和机械制图专业和课程就需要这方面的知识，激发学生的学习兴趣，导入本课。
（二）讲授新课
例6.某工厂要加工一批密封罐，设计者给出了密封罐的三视图(如下图)，请你按照三视图确定制作每个密封罐所需钢板的面积.

分析:对于某些立体图形，若沿其中一些线(例如棱柱的棱)剪开，可以把立体图形的表面展开成一个平面图形——展开图.在实际的生产中.三视图和展开图往往结合在一起使用.解决本题的思路是，由视图想象出密封罐的立体形状，再进一步画出展开图.从而计算面积.
解:由三视图可知，密封罐的形状是正六棱柱(如图(左)).
密封罐的高为50mm，底面正六边形的直径为100mm.边长为50mm，图(右)是它的展开图.

由展开图可知，制作一个密封罐所需钢板的面积为

(三)练习巩固
1.P122 练习
2.补充根据下面三视图请说出建筑物是什么样子的?共有几层?一共需要多少个小正方体?

分析:由俯视图确定该建筑物在平面上的形状，由主视图、左视图确定空间的形状如图所示.
解:该建筑物的形状如图所示:

有3层，共9个小正方体.
思考：一个物体的主视图如上右图所示, 请画出它的俯视图，耐心想一想有
几种不同的情形?
(四)作业
P124~125  8、9
教学后记: 根据物体的三视图想像物体的形状一般是由俯视图确定物体在平面上的形状.然后再根据左视图、主视图嫁接出它在空间里的形状，从而确定物体的形状.

教学内容:  投影与视图（练习课）
教学目标
1、进一步体会投影中的平行投影、中心投影和正投影间的相互关系
2、加深体会立体图形或实物原型与三视图的互相转化，进一步拓展学生的空间想象力
教学方法:练习法
教学过程
（一）提问导入
前面我们都学习了哪些内容？
（让学生进行2~3分钟的梳理，然后让几个学生说说看，最后老师拓展总结）
（二）看谁学得好
练习设计
1.填空题
（1）俯视图为圆的几何体是_______，______。
（2）画视图时，看得见的轮廓线通常画成_______，
看不见的部分通常画成_______。
（3）举两个左视图是三角形的物体例子：________，_______。
（4）如图所示是一个立体图形的三视图，请根据视图说出立体图形的名称_______。

（5）请将六棱柱的三视图名称填在相应的横线上.
（6）一张桌子摆放若干碟子，从三个方向上看，三种视图如下图所示，则这张桌子上共有________个碟子。

2.选择题
（1）圆柱对应的主视图是（）。
?? ? ? ? ???
（A） ? ? （B） ? （C）? ? （D）
（2）某几何体的三种视图分别如下图所示，那么这个几何体可能是（）。

（A）长方体（B）圆柱（C）圆锥（D）球
（3）下面是空心圆柱在指定方向上的视图，正确的是…（）

(4)一个四棱柱的俯视图如右图所示，则这个四棱柱的主视图和左视图可能是（）

（5）主视图、左视图、俯视图都是圆的几何体是（）。
（A）圆锥（B）圆柱（C）球（D）空心圆柱
3、解答题
（1）根据要求画出下列立体图形的视图。
??? ????? ????
???（画左视图）??? （画俯视图）???（画正视图）
（2）画出右方实物的三视图。

（3）如图是一个物体的三视图，请画出物体的形状。

（4）根据下面三视图建造的建筑物是什么样子的？共有几层？一共需要多少个小正方体。

作业:
练习册第40页
教学后记:

教学内容:29.3　制作立体模型（活动课）
学习目的:
通过根据三视图制作立体模型的实践活动，体验平面图形向立体图形转化的过程，体会用三视图表示立体图形的作用，进一步感受立体图形与平面图形之间的联系。
工具准备:
刻度尺、剪刀、小刀、胶水、硬纸板、马铃薯（或萝卜）等。
具体活动:
１、以硬纸板为主要材料，分别做出下面的两组视图所表示的立体模型。

２、按照下面给出的两组视图，用马铃薯（或萝卜）做出相应的实物模型

３、下面的每一组平面图形都是由四个等边三角形组成的。

（１）指出其中哪些可以折叠成多面体。把上面的图形描在纸上，剪下来，叠一叠，验证你的答案；
（２）画出由上面图形能折叠成的多面体的三视图，并指出三视图中是怎样体现“长对正，高平齐，宽相等”的；
（３）如果上图中小三角形的边长为１，那么对应的多面体的体积和表面积各是多少？
四、课题拓广
三视图和展开图都是与立体图形有关的平面图形，了解有关生产实际，结合具体例子，写一篇短文介绍三视图、展开图的应用。

教学内容：第四章投影与三视图复习
教学目标：
1、通过复习系统掌握本章知识，
2、体验数学来源于实践，又作用于实践。
3、提高解决问题分析问题的能力。
4、培养空间想象能力。
教学重点：投影和三视图
教学难点：画三视图
教学资源:教材,练习册
教学方法:比较复习法,练习复习法.
教学过程：
一、以提问形式小结本章知识
1、本章知识结构框架：

2、填空：
（1）人在观察目标时，从眼睛到目标的    叫做视线。
所在的位置叫做视点，有公共的两条    所成的角叫做视角。视线不能到达的区域叫做       。
（2）物体在光线的照射下，在某个    内形成的影子叫做       ，这时光线叫做    ，投影所在的       叫做投影面。
由       的投射线所形成的投影叫做平行投影。
由          的投射线所形成的投影叫做中心投影。
（3）在平行投影中，如果投射线    垂直于投影面，那么这种投影就称为正投影。
（4）物体的三视图是物体在三个不同方向          。
      上的正投影就是主视图，水平面上的正投影就是    ，          上的正投影就是左视图。
二、例题讲解
例1、（１）在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下（  ）
A、小明的影子比小强的影子长    B、小明的影子比小强的影子短
C、小明和小强的影子一样长       D、无法判断谁的影子长
分析：阳光是平行光线，出现平行投影。路灯是点光源，是中心投影，形成的影子是不一样的
例2、如图所示图形是一个多面体的三视图，请根据视图说出该多面体的具体名称。


分析：从俯视图上看，该立体图形是个对称图形，从主视图、左视图上看，正面和左面都是等腰三角形，因此我们可以想象，该立体图形是正四棱锥。
例3、A、B 表示教室门口，张丽在教室内，王明、钱勇、李杰三同学在教室外，位置如图所示，张丽能看得见三位同学吗？请说明理由。

例４、       如右上图，小王、小李及一根电线杆在灯光下的影子。
（１）确定光源的位置；
（２）在图中画出表示电线杆高度的线段。
分析：由条件易知，本题属于中心投影问题，根据中心投影的特点，物体与影子对应点的连线必须经过光源，因此我们可以利用两线的交点来求光源的位置。
例５、如图，是由一些大小相同的小正方体组成的简单的几何体的主视图和俯视图。
（１）请你画出这个几何体的一种左视图；
（２）若组成这个几何体的小正方体的块数为ｎ，请你写出ｎ的所有可能值。
分析：左视图为侧视图，由于几何体只知道主视图和俯视图，那么左视图就不是唯一的，而主视图表示几何体共有三层，所以侧视图有多种可能，俯视图只看见５个小正方体，这５个正方体可分布在１、２、３层。
三、课外作业：见课本第132页复习题29。

教学内容:    第２９章投影与三视图　　测试卷
      时间 100分钟总分：100分
      姓名：          得分
一、精心选一选（每小题5分，共50分）
1．圆形的物体在太阳光的投影下是 ( )
(A)圆形． (B)椭圆形． (C)线段． (D)以上都不可能．
2．如图所示的圆台的上下底面与投影线平行，圆台的正投影是 ( )
(Ａ)矩形． (B)两条线段.
(C)等腰梯形． (D)圆环．

3．如图摆放的几何体的左视图是 ( )

4.在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下 ( )
(A)小明的影子比小强的影子长．　
(B)小明的影子比小强的影子短．
(C)小明的影子和小强的影子一样长．
(D)无法判断谁的影子长．
5．“圆柱与球的组合体”如图所示，则它的三视图是( )
6．下列左边的主视图和俯视图对应右边的哪个物( )

7．小明在操场上练习双杠时，在练习的过程中他发现在地上双杠的两横杠的影子 ( )
(A)相交．             (B)平行．
(C)垂直．             (D)无法确定．
8．在一个晴朗的好天气里，小颖在向正北方向走路时，发现自己的身影向左偏，你知道小颖当时所处的时间是( )
(A)上午．                   (B)中午．
(C)下午．                   (D)无法确定．
9.如图是一根电线杆在一天中不同时刻的影长图，试按其一天中发生的先后顺序排列，正确的是 ( )
(A)①②③④．             (B)④①③②．
(C)④②③①．             (D)④③②①．
10．如图是“马头牌”冰激凌模型图，它的三视图是 ( )

二、耐心填一填（每小题4分，共20分）
11．右图是基本几何体的三视图，该基本几何体为          ．
12．皮影戏中的皮影是由投影得到的          ．
13．为测量旗杆的高度我们取一米杆直立在阳光下，其长为1.5米，在同一时刻测得旗杆的影长为10．5米.旗杆的高度是          ．
14．如图是置于水平地面上的一个球形储油罐，小敏想测量它的半径．在阳光下，他测得球的影子的最远点A到球罐与地面接触点B的距离是10米(如示意图，AB＝10米)；同一时刻，他又测得竖直立在地面上长为1米的竹竿的影子长为2米，那么，球的半径是          米．
15．圆锥底面展开后是       ,侧面展开后是       .
三、用心想一想（每小题10分，共30分）
16．画出实物图(如图，上部分是长方体，下部是空心圆柱)的三视图．

17.与一盏路灯相对，有一玻璃幕墙，幕墙前面的地面上有一盆花和一棵树。晚上，幕墙反射路灯灯光形成了那盆花的影子(如图所示)，树影是路灯灯光形成的。请你确定此时路灯光源的位置．

18.要制作一个如图所示(图中阴影部分为底与盖,且SⅠ=SⅡ)的钢盒子,在钢片的四个角上分别截去两个相同的正方形与两个相同的小长方形,然后折合起来既可,求有盖盒子的高x.

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