中学数学教师招考备考复习资料

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【二面角的平面角的定位】
空间图形的位置关系是立体几何的重要内容，解决立体几何问题的关键在于三定：定性分析→定位作图→定量计算，其中定性是定位、定量的基础，而定量是定位、定性的深化，在面面关系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量归结为平面上角的度量，一般来说，对其平面角的定位是问题解决的先决一步，可是，从以往的教学中发现，学生往往把握不住其定位的基本思路而导致思维混乱，甚至错误地定其位，使问题的解决徒劳无益，本文就是针对这一点，来谈一谈平日教学中体会。
重温二面角的平面角的定义
如图(1)，α、β是由l出发的两个平面,O是l上任意一点,O∈α，且OC⊥l;CD∈β，且OD⊥l。这就是二面角的平面角的环境背景，即∠COD是二面角α-l-β的平面角，从中不难得到下列特征：
⑴过棱上任意一点，其平面角是唯一的。
⑵其平面角所在平面与其两个半平面均垂直。
另外，如果在OC上任取上一点A，作AB⊥OD垂足为B,那么由特征⑵可知AB⊥β.突出L、OC、OD、AB，这便是另一特征。
⑶体现出一完整的垂线定理(或逆定理)的环境背景。
对以上特征进行剖析：
由于二面角的平面角是由一点和两条射线构成的，所以二面角的平面角的定位可化归为"定点"或"定线(面)"的问题。
特征⑴表明，其平面角的定位可先在棱上取一"点"，耐人寻味的是这一点可以随便取，但又总是不随便取定的，它必须与问题背景相互沟通，给计算提供方便。
例1：已知正三棱锥V-ABC侧棱长为a，高为b，求侧面与底面所成的角的大小。
由于正三棱锥的顶点V在底面ABC上的射影H是底面的中心，所以连结CH交AB于O，且OC⊥AB，则∠VOC为侧面与底面所成二面角的平面角如图(2)。正因为正三棱锥的特性，解决此问题，可以取AB的中点O为其平面角的顶点，而且使背景突出在面VOC上，给进一步定量创造得天独厚的条件。

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【等比数列前ｎ项和的公式】
导使用了迭乘法。
(复习一下旧知识，为下面推导出前n项和公式作准备，并提出了类比)
师：今天我就在此基础上，进一步研究等比数列的有关问题，先看一个实例：
国际象棋起源于印度，关于国际象棋有这样一个传说：国王要奖赏国际象棋的发明者，问他有什么要求，发明者说："请在棋盘的第1个格子里放上一颗麦粒，在第2个格子里放上2颗麦粒，在第3个格子里放上4颗麦粒，依此类推，每个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的2倍，直到第64个格子。"国王说："这太简单了。"吩咐手下马上去办，过了好久，手下惊慌地报告国王："不好了!"你猜怎样?原来经计算，印度近几十年生产的所有麦子加起来还不够。
上述问题实际上是一个等比数列求知，即1+2+4+......+263。我们先来讨论等比数列前n项和计算公式，即：等比数列{an}，公比为q，求Sn= a1+a2+......+an。
师：如何求和呢?
(给足够的时间鼓励学生对问题自由思考，积极解决)
生：能不能像推导等比数列通项公式的方法，列出一些等式，
师：这种求和方法很重要，由于设法消去了一些中间项，使带省略号的含任意有限项的式子变成仅含有几项的式子，从而使问题得到解决。
这种求和方法称为错位相减去，是研究数列求和的一个重要方法。
(以上三种推导方法，可以看出利用"发散思维"进行教学，引导学生从多条途径、用多种方法推导公式，从而培养学生的创造性思维)
师：与等差数列相似，等比数列的前n项和公式(1)和(2)，其中涉及a 1,q，n, a n和S n这五个量，而他们又通过通项公式及前n项和公式联系着，因此只要已知其中的任何三个量，即可能得到其余两个量为未知数的方程组，从而可以求出其余两个量。
师：下面举例说明公式(1)、(2)的一些应用。

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【排列组合中的"分"与"取"】
在排列组合问题的求解中经常会见到"分"或"取"的问题，很多学生在求解此类问题时往往把这两个问题混为一谈，导致出现错误，实质上这两个问题有着本质的区别，下面就此类问题略举几例。
一、"分"的问题--分堆分配
例1：有4名新转入的高二学生准备把他们分到三个班级，由于班容量的原因，每个班至少得分一个学生，问有多少种不同的分配方案?
分析：首先把四名学生分为三堆作为一组，然后再去分配。而一组中堆的特点是：有两个学生是一堆，其他两个各为一堆，这里主要强调的是那两个学生在一起的问题。组数为(C42C21C11)÷2!(或C42)个 ，而每一组的分法为A33种。这样，总的分配方案为C42A33=36。
例2：2004年暑假有6名新毕业的师范院校学生，主管部门准备把他们分到三个不同的学校任教，由于教师编制的因素，要求每个学校至少得分到一名教师。问有多少种不同的分配方案?
分析：首先得把方案进行分类，然后再分配，分类如下：1+1+4=6，1+2+3=6，2+2+2=6。具体分法为：第一类C42A33种，第二类C63C32C11A33种，第三类C62C42C22种，所以总的分配方案有36+360+90=486种。
例3：有3名医生6名护士准备分到3所不同的医院，每个医院分一名医生和两名护士，问有多少不同的分法?
分析：多类元素的分配问题要分类去分堆分配。具体分法如下：C31C21C11C62C42C22=540 种。总之，分的问题要合理地分类，然后去分配。
【浅谈曲线方程的求法】
解析几何在高中数学中既是重点，又是难点，每年高考所占分值较大，综合性强，学生理解和运用时困难较大，特别是对基础较差的学生来说困难更大。因此，有必要从曲线与方程概念的理解入手，掌握求曲线方程的基本思路和基本方法，从而起到事半功倍的效果。为此浅议如下：
一、曲线与方程
曲线与方程的概念，包括两方面的含义：
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，直观地说"点不比解多"，也可以说曲线上没有坐标不满足方程的点，称为纯粹性。
(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，直观地说"解不比点多"，即适合条件的点都在曲线上而毫无遗漏，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程。
例1：以线段AB为斜边的直角三角形的顶点C的轨迹是以AB为直径的圆。
这个答案是错误的，因为不具有纯粹性，也就是说图形包含有不符合条件的A、B两点(为什么)，所以正确答案是以AB为直径的圆且直径AB两端点A、B除外(如图所示)。
例2：一动点M到y轴的四倍与它到A(1，-3)的距离平方相等，则动点M的轨迹是：以(3，-3)为圆心，半径为的圆。
这个答案错误，因为设M(x，y)，则4|x|=(x-1)2+(y+3)2。
当x≥0时，方程可化为(x-3)2+(y+3)2=8;当x<0时，方程可化为(x+1)2+(y+3)2=0。
所以动点M的轨迹 是以(3，-3)以为圆心，半径为的圆，与点(-1，-3)所组成。
注意：不能把点(-1，-3)遗漏，若遗漏则不具备完备性，解答将是错误的。
正是由于曲线与方程有两方面的含义，它沟通了数学内数与形、代数与几何最基本的联系，形成了一门学科--解析几何，从而用代数的方法去研究几何图形的性质，这就是解析几何的基本思想。
求曲线的方程是解析几何的首要问题，有了曲线的方程，才能利用方程研究曲线的性质，求曲线的方程可以是曲线的普通方程，也可以是它的参数方程，参数方程中消去参数就得到了普通方程，选择哪种形式的方程解题，要根据具体条件和要解决的问题而定。

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【生活中的概率解析】
概率是某个事件能够发生的次数与总次数之比，在我们的生活中，概率无处不在，比如太阳每天早晨从东方升起，对我们来说是再熟悉不过的事情。从概率角度来讲，它是一个必然事件，P(必然事件)=1。再比如：小明每小时步行走80千米，这是绝对不可能的事情，从概率上分析它是一个不可能事件，P(不可能事件)=0。现在各种彩票被炒作的沸沸扬扬，你今天花2元钱买一张体彩，可能中奖，也可能不中奖，从概率上说，它属于一个不确定事件，0
一、不确定事件的概率=某个事件发生的次数/总次数
现在流行女士美容，美容院为了招揽顾客，时常举办抽奖活动，将事先做好的一些无差别的纸条或写有号码的球(这些球除颜色外完全相同)。放在一个不透明的箱子中，比如放入800张纸条，其中一等奖50张，二等奖100张，三等奖150张，当某人抽奖时，所有可能发生的结果即总次数为800，而能获奖这一事件可能发生的结果为50+100+150=300。因此：
P(能获奖)== P(获一等奖)==
P(获二等奖)==P(获三等奖)==
二、不确定事件的概率=某个所占面积/总面积
飞镖是一种体育项目，也是孩子们所喜爱的一种游戏，有时，我们可以利用一个简易的靶子进行练习，如图：
取一张方形的纸，在其中画一个最大的圆，求镖投不进的概率，这一事件的概率，可以用面积之比来表示，设正方形边长为a，镖投不进的概率可以用阴影部分面积比正方形面积，即P(镖投不进圆)==1-
概率看似简单的问题，里边蕴含很多数学知识，事件所发生的概率有时与排列有关，有时与组合有关。