教师招聘数学【行程问题】知识点解析

2015教师招考

一、相遇和追及

1.甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起走了A，B之间这段路程，如果两人同时出发，那么

相遇路程=甲走的路程+乙走的路程

=甲的速度×相遇时间+乙的速度×相遇时间

=(甲的速度+乙的速度)×相遇时间

=速度和×相遇时间.

2.有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程，也就是要计算两人走的路程之差(追及路程).如果设甲走得快，乙走得慢，在相同的时间(追及时间)内：

追及路程=甲走的路程-乙走的路程=甲的速度×追及时间-乙的速度×追及时间

=(甲的速度-乙的速度)×追及时间

=速度差×追及时间.

二、环形跑道问题

环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每走一圈相遇一次;如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次.这个等量关系往往成为我们解决问题的关键.

变速变道问题属于行程中的综合题，用到了比例、分步、分段处理等多种处理问题等解题方法.对于这种分段变速问题，利用算术方法、折线图法和方程方法解题各有特点.

算术方法对于运动过程的把握非常细致，但必须一步一步来;

折线图则显得非常直观，每一次相遇点的位置也易于确定;

方程的优点在于无需考虑得非常仔细，只需要知道变速点就可以列出等量关系式，把大量的推理过程转化成了计算.

三、行船问题

1.基本公式

数量关系：(顺水速度+逆水速度)÷2=船速

(顺水速度-逆水速度)÷2=水速

顺水速=船速×2-逆水速=逆水速+水速×2

逆水速=船速×2-顺水速=顺水速-水速×2

解题思路和方法：大多数情况可以直接利用数量关系的公式.

2.相遇追及

(1)两只船在河流中相遇问题，当甲、乙两船(甲在上游、乙在下游)在江河里相向开出：

甲船顺水速度+乙船逆水速度=(甲船速+水速)+(乙船速-水速)=甲船船速+乙船船速

(2)同样道理，如果两只船，同向运动，一只船追上另一只船所用的时间，与水速无关.

甲船顺水速度-乙船顺水速度=(甲船速+水速)-(乙船速+水速)=甲船速-乙船速

也有：甲船逆水速度-乙船逆水速度=(甲船速-水速)-(乙船速-水速)=甲船速-乙船速.

说明：两船在水中的相遇与追及问题同静水中的及两车在陆地上的相遇与追及问题一样，与水速没有关系.

四、列车问题

1.火车+桥(隧道)：一个有长度、有速度，一个有长度、但没速度，

解法：火车车长+桥(隧道)长度(总路程)=火车速度×通过的时间;

2.火车+树(电线杆)：一个有长度、有速度，一个没长度、没速度，

解法：火车车长(总路程)=火车速度×通过时间;

3.火车+人：一个有长度、有速度，一个没长度、但有速度，

(1)火车+迎面行走的人：相当于相遇问题，

解法：火车车长(总路程)=(火车速度+人的速度)×迎面错过的时间;

(2)火车+同向行走的人：相当于追及问题，

解法：火车车长(总路程)=(火车速度—人的速度)×追及的时间;

(3)火车+坐在火车上的人：火车与人的相遇和追及问题

解法：火车车长(总路程)=(火车速度人的速度)×迎面错过的时间(追及的时间);

4.火车+火车：一个有长度、有速度，一个也有长度、有速度，

(1)错车问题：相当于相遇问题，

解法：快车车长+慢车车长(总路程)=(快车速度+慢车速度)×错车时间;

(2)超车问题：相当于追及问题，

解法：快车车长+慢车车长(总路程)=(快车速度—慢车速度)×错车时间.