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向量代数与空间解析几何是数学的考点之一，下面将向量代数与空间解析几何的重要内容汇总如下：
一、空间直角坐标系
1. 将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）如图7－1，其符合右手规则。
2. 各轴名称，坐标面的概念以及卦限的划分如图7－2所示。
3 空间点M(x,y,z)的坐标表示方法，关于坐标轴、坐标面原点的对称点的表示法。通过坐标把空间的点与一个有序数组对应起来。
二、空间两点间的距离
若M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)为空间两点，
则距离为
三、向量及其运算
1向量的概念
● 向量：既有大小，又有方向的量；
● 在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向量的大小，其方向表示向量的方向；
● 在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）；
● 向量的表示方法有a、i、F、 等等。
● 向量相等a=b：如果两个向量大小相等，方向相同（即经过平移后能完全重合的向量）。
● 向量的模：向量的大小，记为 、 。
● 模为1的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。
● 向量平行a∥b：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平行。
2向量的运算
● 加减法：三角形法则及平行四边形法则、其满足的运算规律有交换率和结合率
● 向量与数的乘法： 。其满足的运算规律有结合率、分配率。设 表示与非零向量a同方向的单位向量，那么
● 定理1：设向量a≠0，那么，向量b平行于a的充分必要条件是：存在唯一的实数λ，使b＝
3向量的坐标
向量在轴上的投影
几个概念
● 轴上有向线段的值：设有一轴u， 是轴u上的有向线段，如果数 满足 ，且当 与轴u同向时 是正的，当 与轴u反同向时 是负的，那么数 叫做轴u上有向线段 的值，记做AB，即 。设e是与u轴同方向的单位向量，则
● 设A、B、C是u轴上任意三点，不论三点的相互位置如何，总有
● 两向量夹角的概念：设有两个非零向量a和b，任取空间一点O，作 ， ，规定不超过 的 称为向量a和b的夹角，记为 。
● 空间一点A在轴u上的投影：通过点A作轴u的垂直平面，该平面与轴u的交点 叫做点A在轴u上的投影。
向量 在轴u上的投影：设已知向量 的起点A和终点B在轴u上的投影分别为点 和 ，那么轴u上的有向线段的值 叫做向量 在轴u上的投影，记做
1. 投影定理
● 性质1：向量在轴u上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角 的余弦：
● 性质2：两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和，即
● 性质3：向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。即
4向量运算的坐标表示
设a = {ax，ay，az}，b = {bx，by，bz}即a = ax i + ayj + azk，b = bx i +by j +bzk
则
◆ 加法： a + b = （ax+ bx）i +（ay + by） j +（az + bz）k
◆ 减法： a―b = （ax－bx ）i + （ay－by） j +（ az－bz ）k
◆ 乘数： λa = (λax )i + (λay)j + (λaz)k
◆ 或 a + b ={ ax+ bx，ay + by，az + bz }
a－b ={ ax－bx，ay－by，az－bz }
λa = {λax，λay，λaz}
◆ 平行：若a≠0时，向量b∥a相当于b ＝λa，即
{bx，by，bz} =λ{ax，ay，az}
也相当于向量的对应坐标成比例即
5向量的模与方向余弦的坐标表示式
1． 模
图 7－6
2． 方向余弦
由性质1知 ，当 时，有
◆ 任意向量的方向余弦有性质：
◆ 与非零向量a同方向的单位向量为：
四、空间直线
1．直线的点向式方程
在空间给定了一点 与一个非零向量v = {X，Y，Z}，则过点M0且平行于向量v的直线l就惟一地被确定. 向量v叫直线l的方向向量. 显然，任一与直线l上平行的飞零向量均可作为直线l的方向向量.
下面建立直线l的方程.
如图，设M (x，y，z) 是直线l上任意一点，其对应的向径是r = { x，y，z }，而 对应的向径是r0，则因 //v，有t∈R， = t v. 即有
r－r0= t v
所以得直线l的点向式向量参数方程
r = r0＋t v (3.4－1)
以诸相关向量的分量代入上式，得
2．直线的一般方程
空间直线l可看成两平面p1和p2的交线. 事实上，若两个相交的平面p1和p2的方程分别为
p1：
p2：
那么空间直线l上的任何一点的坐标同时满足这两个平面方程，即应满足方程组
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发表于 2015-4-2 09:48:51
