2011年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 数学I

高放

版权所有：
绝密★启用前
2011年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
数学I

参考公式：
（1）样本数据 的方差 ,其中
（2）直柱体的侧面积 ，其中 为底面周长， 是高
（3）柱体的体积公式 ，其中 为底面面积， 是高
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应位置上。
1、已知集合  则
答案：
解析：考察简单的集合运算，容易题。
2、函数 的单调增区间是__________
答案：
解析：考察函数性质，容易题。
3、设复数i满足 （i是虚数单位），则 的实部是_________
答案：1
解析：简单考察复数的运算和概念，容易题。
4、根据如图所示的伪代码，当输入 分别为2，3时，最后输出的m的值是________
答案：3
解析：考察算法的选择结构和伪代码，是容易题。
5、从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______
答案：
解析：简单考察古典概型的概率计算，容易题。
6、某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差
答案：
解析：考察方差的计算，可以先把这组数都减去6再求方差， ，容易题。

7、已知  则 的值为__________
答案：
解析：考察正切的和差角与倍角公式及其运用，中档题。

8、在平面直角坐标系 中，过坐标原点的一条直线与函数 的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是________
答案：4
解析：考察函数与方程，两点间距离公式以及基本不等式，中档题。设交点为 ， ，则
9、函数 是常数， 的部分图象如图所示，则
答案：
解析：考察三角函数的图像与性质以及诱导公式，中档题。由图可知：  
    由图知：
                                
10、已知 是夹角为 的两个单位向量，  若 ，则k的值为        。
答案：
解析：考察向量的数量积及其相关的运算，中档题。由 得：
11、已知实数 ，函数 ，若 ，则a的值为________
答案：
解析：考察函数性质，含参的分类讨论，中档题。 ，不符合；  
12、在平面直角坐标系 中，已知点P是函数 的图象上的动点，该图象在P处的切线 交y轴于点M，过点P作 的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_____________
答案：
解析：综合考察指数函数、导数的几何意义、导数的应用、直线方程及其斜率、直线的位置关系，难题。
设 则 ，过点P作 的垂线
，
，所以，t在 上单调增，在 单调减， 。
13、设 ，其中 成公比为q的等比数列， 成公差为1的等差数列，则q的最小值是________
答案：
解析：考察综合运用等差、等比的概念及通项公式，不等式的性质解决问题的能力，难题。
由题意： ，
，而 的最小值分别为1，2，3； 。
14、设集合 ,  ,
若  则实数m的取值范围是______________
答案：
二、解答题：本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15、（本小题满分14分）在△ABC中，角A、B、C所对应的边为
（1）若  求A的值；
（2）若 ，求 的值.
解析：考察三角函数基本关系式、和差角公式、正余弦定理及有关运算能力，容易题。
（1）
（2）
由正弦定理得： ，而  。（也可以先推出直角三角形）
16、（本小题满分14分）如图，在四棱锥 中，平面PAD⊥平面ABCD，
AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点
求证：（1）直线EF‖平面PCD；
（2）平面BEF⊥平面PAD
解析：简单考察空间想象能力和推理论证能力、线面平行和垂直的判定与性质，容易题。
（1）因为E、F分别是AP、AD的中点，
又
直线EF‖平面PCD
（2）  F是AD的中点，
又平面PAD⊥平面ABCD，  
所以，平面BEF⊥平面PAD。
17、请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm
（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm ）最大，试问x应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积V（cm ）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。



解析：考察空间想象能力、运用数学知识解决实际问题的能力、建模能力、导数的运用，中档题。
（1） （0<x<30）,所以x=15cm时侧面积最大，
（2） ，所以，
当 时， ，所以，当x=20时，V最大。
此时，包装盒的高与底面边长的比值为
18、（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系 中，M、N分别是椭圆 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k
（1）当直线PA平分线段MN时，求k的值；
（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；
（3）对任意k>0，求证：PA⊥PB
   
解析：（1）（2）两题主要考察直线的斜率及其方程、点到直线距离公式、
解方程组，是容易题；（3）是考察学生灵活运用共线问题、点在曲线上、
直线斜率、两条直线位置关系的判断、运算能力，是难题。
（1）M(-2,0),N(0, ),M、N的中点坐标为(-1, ),所以
（2）由 得 ， ，AC方程： 即：
所以点P到直线AB的距离
（3）法一：由题意设 ，
A、C、B三点共线， 又因为点P、B在椭圆上，
，两式相减得：


法二：设 ,
A、C、B三点共线， 又因为点A、B在椭圆上,
,两式相减得： ,
,
19、（本小题满分16分）已知a，b是实数，函数   和 是 的导函数，若 在区间I上恒成立，则称 和 在区间I上单调性一致
（1）设 ，若函数 和 在区间 上单调性一致,求实数b的取值范围；
（2）设 且 ，若函数 和 在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a-b|的最大值。
解析：(1)考察单调性概念、导数运算及应用、含参不等式恒成立问题，中档题；（2）综合考察分类讨论、线性规划、解二次不等式、二次函数、含参不等式恒成立问题、导数及其应用、化归及数形结合的思想，难题。
（1）因为函数 和 在区间 上单调性一致，所以， 即
  
即
（2）当 时，因为，函数 和 在区间（b,a）上单调性一致，所以，
即  ，
设 ，考虑点(b,a)的可行域，函数 的斜率为1的切线的切点设为
则  ；
当 时，因为，函数 和 在区间（a, b）上单调性一致，所以，
即  ，
  
当 时，因为，函数 和 在区间（a, b）上单调性一致，所以，
即  而x=0时， 不符合题意，
当 时，由题意：  

综上可知， 。
20、（本小题满分16分）设M为部分正整数组成的集合，数列 的首项 ，前n项和为 ，已知对任意整数k属于M，当n>k时， 都成立。
（1）设M=｛1｝， ，求 的值；（2）设M=｛3，4｝，求数列 的通项公式。
解析：考察等差数列概念、和与通项关系、集合概念、转化与化归、分析问题与解决问题的能力，其中（1）是容易题，（2）是难题。
（1） 即：
所以，n>1时， 成等差，而 ，
（2）由题意： ，
  
当 时，由（1）（2）得：
由（3）（4）得：  
由（1）（3）得：
由（2）（4）得：
由（7）（8）知： 成等差， 成等差；设公差分别为：
由（5）（6）得：
由（9）（10）得：  成等差，设公差为d,
在（1）（2）中分别取n=4,n=5得：



绝密★启用前
2011年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)


数学II（附加题）


21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，
             若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A．        选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）
   如图，圆 与圆 内切于点 ，其半径分别为 与 ，
圆 的弦 交圆 于点 （ 不在 上），
求证： 为定值。
解析：考察圆的切线的性质、三角形相似的判定及其性质，容易题。
证明：由弦切角定理可得
B．        选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）
已知矩阵 ，向量 ，求向量 ，使得 ．
解析：考察矩阵的乘法、待定系数法，容易题。
设 ，由 得： ，
C．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
在平面直角坐标系 中，求过椭圆 （ 为参数）的右焦点且与直线 （ 为参数）平行的直线的普通方程。
解析：考察参数方程与普通方程的互化、椭圆的基本性质、直线方程、两条直线的位置关系，中档题。
椭圆的普通方程为 右焦点为（4，0），直线 （ 为参数）的普通方程为 ，斜率为： ；所求直线方程为：

D．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）
解不等式：
解析：考察绝对值不等式的求解，容易题。
原不等式等价于： ，解集为
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出
文字说明、证明过程或演算步骤。http://www.mathedu.cn
22. （本小题满分10分）
如图，在正四棱柱 中， ，点 是 的中点，点 在 上，设二面角 的大小为 。
（1）当 时，求 的长；
（2）当 时，求 的长。
解析：考察空间向量基本概念、线面所成角、距离、数量积、空间想象能力、运算
能力，（1）是中档题，（2）是较难题。
以D为原点，DA为x轴正半轴，DC为y轴正半轴，DD1为z轴正半轴，
建立空间直角坐标系，则A(1,0,0),A1(1,0,2),N( ,1,0),C(0,1,0) )，设M(0，1,z),
面MDN的法向量 ，
设面A1DN的法向量为 ，则
取 即
(1)由题意： 取

（2）由题意： 即 取
  
23．（本小题满分10分）
     设整数 ， 是平面直角坐标系 中的点，其中
  （1）记 为满足 的点 的个数，求 ；
（2）记 为满足 是整数的点 的个数，求
解析：考察计数原理、等差数列求和、分类讨论、归纳推理能力，较难题。
（1）因为满足  的每一组解构成一个点P,所以 。
（2）设 ，则
对每一个k对应的解数为：n-3k,构成以3为公差的等差数列；
当n-1被3整除时，解数一共有：
当n-1被3除余1时，解数一共有：
当n-1被3除余2时，解数一共有：