2011年普通高等学校招全国统一考试（湖南卷） 数学（文史类）

高放

2011年普通高等学校招全国统一考试（湖南卷）
数学（文史类）
本试题包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页。时间120分钟，满分150分。
参考公式：
（1）柱体体积公式 ，其中 为底面面积， 为高
（2）球的体积公式V= πR3,        其中R为球的半径
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集U=M∪N=﹛1,2,3,4,5﹜,M∩CuN=﹛2,4﹜,则N=
A．{1,2,3}          B. {1,3,5}   
C. {1,4,5}          D. {2,3,4}
2．若 ， 为虚数单位，且 则
A． ，   B.    C.     D.  
3. “ ”是“ ” 的
A．充分不必要条件               B.必要不充分条件
C. 充分必要条件                 D.既不充分又不必要条件
4.设图1是某几何体的三视图，则该几何体的体积为
A．  
B．
C．
D．




5.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
         男        女        总计
爱好        40        20        60
不爱好        20        30        50
总计        60        50        110
由   算得，
附表：  

0.050        0.010        0.001
k        3.841        6.635        10.828

参照附表，得到的正确结论是
A. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为 “爱好该项运动与性别有关”
D. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为 “爱好该项运动与性别无关”
6.设双曲线 的渐近线方程为 ，则a的值为
A.4           B.3           C.2               D.1
7.曲线 在点M（ ，0）处的切线的斜率为
A.            B.             C.                D.  
8.已知函数 ，若有 ，则b的取值范围为
A.               B.  
C.                        D.  

二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应号后的横线上。
（一）选做题（请考生在9、10两题中任选一题作答，如果全做，则按前一题记分）
9.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为   （ 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C2的方程为 ，则C1与C2的交点个数为       。
10.已知某试验范围为【10，90】，若用分数法进行4次优选试验，则第二次试点可以是            。
（二）必做题（11～16题）
11.若执行如图2所示的框图，
输入 ，x2 = 2, x3 = 4, x4 = 8,
则输出的数等于         。
                  






12. 已知f(x)为奇函数，g(x)=f(x)+9,g(-2)=3,则f(2)=_________.
13. 设向量a,b满足|a|=2 ,b=(2,1),且a与b的方向相反，则a的坐标为________.
14. 设m>1,在约束条件         下，目标函数z=x+5y的最大值为4，则m 的值为_________.
15. 已知圆C：x2+y2=12,直线l : 4x+3y=25.
   （1）圆C的圆心到直线l的距离为________;
   （2）圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为_______.
16. 给定 ,设函数 满足：对于任意大于k的正整数n， 。
(1) 设k=1，则其中一个函数f在n=1处的函数值为_________'
(2) 设k=4, 且当n≤4时，2≤f(n)≤3,则不同的函数f的个数为________.

三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分12分）
在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足csinA=acosC.
(1)        求角C的大小；
(2)        求 sinA-cos (B+ )的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小。

18.（本小题满分12分）
某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y（单位：万千瓦时）与该河上游在六月份是我降雨量X（单位：毫米）有关，据统计，当X=70时，Y=460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值为：140, 110, 160, 70, 200, 160, 140, 160, 220, 200, 110, 160, 160, 200, 140, 110, 160, 220, 140, 160。
（Ⅰ）完成如下的频率分布表
近20年六月份降雨量频率分布表
降雨量        70        110        140        160        200        220
频率         
         
                 

（Ⅱ）假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率是为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率.



19.（本小题满分12分）
   如图3，在圆锥 中，已知 = ，    的直径 ,点 在 上，且 ， 为 的中点.
(Ⅰ)证明： 平面 ;
(Ⅱ)求直线  和平面 所成角的正弦值。



20.（本小题满分13分）
某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备 ， 的价值在使用过程中逐年减少.从第2年到第6年，每年初 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初 的价值为上年初的75%.
（Ⅰ）求第 年初 的价值 的表达式；
（Ⅱ）设 ，若 大于80万元，则 继续使用，否则须在第 年初对 更新.证明：须在第9年初对 更新.
21. （本小题满分13分）
已知平面内一动点 到点 的距离与点 到 轴的距离的差等于1.
（Ⅰ）求动点 的轨迹 的方程；
（Ⅱ），过点 左两条斜率存在且互相垂直的直线 ，设 与轨迹 相交于点 ， 与轨迹 相交于点 ，求 的最小值。

22. （本小题满分13分）
     设函数 。
     （Ⅰ）讨论函数 的单调性。
     （Ⅱ）若 有两个极值点 ；记过点  的直线斜率为 。问：是否存在 ，使得 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由。