2010年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷) 数学(理工类)

高放

试卷类型：A
2010年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)
数学(理工类)
本试卷共4页，三大题21小题，全卷满分150分。考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。并将准考证号条形码横贴在答题卡的指定位置。在用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷、草稿纸上无效。
3．填空题和解答题的作答：用0.5毫米 黑色签字笔直接在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.  为虚数单位，则 =
A.-          B.-1            C.                     D.1
2.已知 ,则 =
A.          B.              C.            D.  
3.已知函数 ，若 ，则x的取值范围为
A.   B.  
C.      D.  
4.将两个顶点在抛物线 上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则
A. n=0      B. n=1 C.   n=2 D. n  3
试卷类型：Ａ
5．已知随机变量 服从正态分布 ，且Ｐ（ ＜4）＝ ，则Ｐ（0＜ ＜2）＝
Ａ.0.6     B.0.4     C.0.3    D.0.2
6.已知定义在R上的奇函数 和偶函数 满足 ( ＞0,且 ).若 ，则 =
A．2     B.       C.       D.  
7.如图，用K、 、 三类不同的元件连接成一个系统。当 正常工作且 、 至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、 、 正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为

A．0.960    B.0.864      C.0.720    D.0.576
8.已知向量a=(x+z,3),b=(2,y-z)，且a⊥  b.若x,y满足不等式 ，则z的取值范围为
A..[-2，2]           B.[-2，3]              C.[-3，2]          D.[-3，3]
9.若实数a,b满足 且 ，则称a与b互补，记 ，那么 是a与b互补的
A.必要而不充分的条件                                 B.充分而不必要的条件
C.充要条件                                           D.即不充分也不必要的条件
10.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变。假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系： ，其中M0为t=0时铯137的含量。已知t=30时，铯137含量的变化率是-10In2（太贝克／年），则M（60）=
A.5太贝克                           B.75In2太贝克
C.150In2太贝克                      D.150太贝克
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其中答案按先后次序填写。答错位置，书写不清，模棱俩可均不给分。
11.  的展开式中含 的项的系数为                     
12.在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期。从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到一瓶已过保质期的概率为         。（结果用最简分数表示）
13.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为        升。
                                                 试卷类型A
14.如图，直角坐标系 所在平面为 ，直角坐标系 （其中 与 轴重合）所在的平面为 ， 。
（Ⅰ）已知平面 内有一点 ，则点 在平面 内的射影 的坐标为      ；
（Ⅱ）已知平面 内的曲线 的方程是 ，则曲线 在平面 内的射影 的方程是           。
15. 给 个自上而下相连的正方形着黑色或白色。当 时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相连的着色方案如下图所示：

由此推断，当 时，黑色正方形互不相连的着色方案共有       种，至少有两个黑色正方形相连的着色方案共有       种，（结果用数值表示）
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分10分）
设 的内角 所对的边分别为 ，已知
（Ⅰ）求 的周长
（Ⅱ）求 的值
17. （本小题满分12分）
提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流速度x     的函数。当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当 时，车流速度v是车流密度x的一次函数.
（Ⅰ）当 时，求函数 的表达式;
（Ⅱ）当车流密度 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时） 可以达到最大，并求最大值（精确到1辆/每小时）



18. （本小题满分12分）
如图，已知正三棱柱 的各棱长都是4， 是 的中点，动点 在侧棱 上，且不与点 重合.

（Ⅰ）当 =1时，求证： ⊥ ；
（Ⅱ）设二面角 的大小为 ，求 的最小值.
19.（本小题满分13分）
已知数列 的前 项和为 ，且满足：  ，   N*， .
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）若存在  N*，使得 ， ， 成等差数列，是判断：对于任意的 N*，且 ， ， ， 是否成等差数列，并证明你的结论.
20. （本小题满分14分）
平面内与两定点 ，  连续的斜率之积等于非零常数 的点的轨迹，加上 、 两点所成的曲线 可以是圆、椭圆成双曲线.
（Ⅰ）求曲线 的方程，并讨论 的形状与 值得关系；
（Ⅱ）当 时，对应的曲线为 ；对给定的 ，对应的曲线为 ，设 、 是 的两个焦点。试问：在 撒谎个，是否存在点 ，使得△   的面积 。若存在，求    的值；若不存在，请说明理由。
21.（本小题满分14分）
（Ⅰ）已知函数 ， ，求函数 的最大值；
（Ⅱ）设  …， 均为正数，证明：
（1）若 …   … ，则  …  ；
（2）若 … =1，则    …    … 。