2010年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数学（理工农医类）

高放

2010年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数学（理工农医类）
第Ⅰ卷
一、        选择题：
（1） 是虚数单位，计算
（A）－1        （B）1         （C）           （D）
（2）下列四个图像所表示的函数，在点 处连续的是

（A）                （B）               （C）            （D）
（3）
（A）0        （B）1         （C） 2         （D）4
（4）函数 的图像关于直线 对称的充要条件是
（A）         （B）          （C）           （D）
（5）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外， 则
（A）8        （B）4         （C） 2         （D）1
（6）将函数 的图像上所有的点向右平行移动 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是
（A）           （B）  
（C）           （D）
（7）某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为
（A）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱
（B）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱
（C）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱
（D）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱
（8）已知数列 的首项 ，其前 项的和为 ，且 ，则
（A）0        （B）          （C） 1         （D）2
（9）椭圆 的右焦点 ，其右准线与 轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点 ，则椭圆离心率的取值范围是
（A）         （B）          （C）           （D）
（10）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是
（A）72       （B）96         （C） 108         （D）144
（11）半径为 的球 的直径 垂直于平面 ，垂足为 ，
是平面 内边长为 的正三角形，线段 、 分别
与球面交于点M，N，那么M、N两点间的球面距离是
（A）         （B）  
（C）               （D）
（12）设 ，则 的最小值是
（A）2        （B）4        （C）           （D）5
第Ⅱ卷
二、        填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.
（13） 的展开式中的第四项是          .
（14）直线 与圆 相交于A、B两点，则         .
（15）如图，二面角 的大小是60°，线段 . ，
与 所成的角为30°.则 与平面 所成的角的正弦值是         .
（16）设S为复数集C的非空子集.若对任意 ，都有 ，则称S为封闭集。下列命题：
①集合S＝{a＋bi|（ 为整数， 为虚数单位）}为封闭集；
②若S为封闭集，则一定有 ；
③封闭集一定是无限集；
④若S为封闭集，则满足 的任意集合 也是封闭集.
其中真命题是                  （写出所有真命题的序号）



三、        解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为 .甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。
（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；
（Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ.






（18）（本小题满分12分）
已知正方体 的棱长为1，点 是棱 的中点，点 是对角线 的中点.
（Ⅰ）求证： 为异面直线 和 的公垂线；
（Ⅱ）求二面角 的大小；
（Ⅲ）求三棱锥 的体积.




















（19）（本小题满分12分）
（Ⅰ）○1证明两角和的余弦公式 ；
      ○2由 推导两角和的正弦公式 .
（Ⅱ）已知△ABC的面积 ，且 ，求 .

（20）（本小题满分12分）
已知定点 ，定直线 ，不在 轴上的动点 与点 的距离是它到直线 的距离的2倍.设点 的轨迹为 ，过点 的直线交 于 两点，直线 分别交 于点
（Ⅰ）求 的方程；
（Ⅱ）试判断以线段 为直径的圆是否过点 ，并说明理由.





（21）（本小题满分12分）
已知数列{an}满足a1＝0，a2＝2，且对任意m、n∈N*都有
a2m－1＋a2n－1＝2am＋n－1＋2(m－n)2
（Ⅰ）求a3，a5；
（Ⅱ）设bn＝a2n＋1－a2n－1(n∈N*)，证明：{bn}是等差数列；
（Ⅲ）设cn＝(an+1－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Sn.



（22）（本小题满分14分）
设 （ 且 ）， 是 的反函数.
（Ⅰ）设关于 的方程求 在区间 上有实数解，求 的取值范围；
（Ⅱ）当 （ 为自然对数的底数）时，证明： ；
（Ⅲ）当 时，试比较 与4的大小，并说明理由.