2010年高考试题——理数（全国卷2）

高放

绝密★启用前
2010年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(必修+选修II)[
第I卷
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。
    3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：
如果事件 互斥，那么                        球的表面积公式
                          
如果事件 相互独立，那么                       其中R表示球的半径
                                球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是 ，那么            
次独立重复试验中事件 恰好发生 次的概率        其中R表示球的半径



一．选择题
（1）复数
（A）         （B）         （C）      （D）
（2）函数 的反函数是
（A）        （B）
（C）        （D）
（3）若变量 满足约束条件 则 的最大值为
（A）1               （B）2             （C）3                 （D）4
（4）如果等差数列 中， ，那么
（A）14              （B）21            （C）28                （D）35
（5）不等式 的解集为
（A）                   （B）
（C）                （D）
（6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有
（A）12种          （B）18种           （C）36种          （D）54种
（7）为了得到函数 的图像，只需把函数 的图像
（A）向左平移 个长度单位               （B）向右平移 个长度单位
（C）向左平移 个长度单位               （D）向右平移 个长度单位
（8） 中，点 在 上， 平方 ．若 ， ， ， ，则
（A）       （B）       （C）      （D）
（9）已知正四棱锥 中， ，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为
（A）1              （B）             （C）2             （D）3
（10）若曲线 在点 处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则 [来
（A）64            （B）32               （C）16            （D）8
（11）与正方体 的三条棱 、 、 所在直线的距离相等的点
（A）有且只有1个                         （B）有且只有2个
（C）有且只有3个                         （D）有无数个
（12）已知椭圆 的离心率为 ，过右焦点 且斜率为 的直线与 相交于 两点．若 ，则
（A）1             （B）              （C）             （D）2
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用0.5毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上作答。
2．本卷共10小题，共90分。
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
（13）已知 是第二象限的角， ，则          ．
（14）若 的展开式中 的系数是 ，则          ．
（15）已知抛物线 的准线为 ，过 且斜率为 的直线与 相交于点 ，与 的一个交点为 ．若 ，则          ．
（16）已知球 的半径为4，圆 与圆 为该球的两个小圆， 为圆 与圆 的公共弦， ．若 ，则两圆圆心的距离           ．
三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分10分）
中， 为边 上的一点， ， ， ，求 ．
（18）（本小题满分12分）
已知数列 的前 项和 ．
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）证明： ．

（19）（本小题满分12分）
如图，直三棱柱 中， ， ， 为 的中点， 为 上的一点， ．
（Ⅰ）证明： 为异面直线 与 的公垂线；
（Ⅱ）设异面直线 与 的夹角为45°，求二面角 的大小．
（20）（本小题满分12分）
    如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9．电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．
（Ⅰ）求p；
   （Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率；
   （Ⅲ） 表示T1，T2，T3，T4中能通过电流的元件个数，求 的期望．
[
（21）（本小题满分12分）
    己知斜率为1的直线l与双曲线C： 相交于B、D两点，且BD的中点为 ．
   （Ⅰ）求C的离心率；
   （Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F， ，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．
（22）（本小题满分12分）
设函数 ．
（Ⅰ）证明：当 时， ；
（Ⅱ）设当 时， ，求a的取值范围．