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2010年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）
数学（供理科考生使用）
第I卷
一、选择墨：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的，
（1） 已知A，B均为集合U={1,3,5,7,9}的子集，且A∩B={3},( B∩A={9},则A=
（A）{1,3} (B){3,7,9} (C){3,5,9} (D){3,9}
(2)设a,b为实数，若复数 ，则
（A） (B)
(C) (D)
（3）两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为 和 ，两个零件是
否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为
（A） (B) (C) (D)
(4)如果执行右面的程序框图，输入正整数n，m，
满足n≥m，那么输出的P等于
（A）
(B)
(C)
(D)
（5）设 >0,函数y=sin( x+ )+2的图像向右平移 个单位后与原图像重合，则 的最小值是
（A） (B) (C) (D)3
（6）设{an}是有正数组成的等比数列， 为其前n项和。已知a2a4=1, ,则
（A） (B) (C) (D)
(7)设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足．如
果直线AF的斜率为 ,那么|PF|=
(A) (B)8 (C) (D) 16
(8)平面上O,A,B三点不共线，设 ，则△OAB的面积等于
(A) (B)
(C) (D)
(9)设双曲线的—个焦点为F；虚轴的—个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐
近线垂直，那么此双曲线的离心率为
(A) (B) (C) (D)
(1O)已知点P在曲线y= 上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值
范围是
(A)[0, ) (B) (D)
(11)已知a>0，则x0满足关于x的方程ax=6的充要条件是
(A) (B)
(C) (D)
(12) (12)有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是
(A)（0, ） (B)（1, ）
(C) ( , ） (D) （0, ）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13） 的展开式中的常数项为_________.
（14）已知 且 ，则 的取值范围是_______（答案用区间表示）
（15）如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为______.
（16）已知数列 满足 则 的最小值为__________.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）求 的最大值.
（18）（本小题满分12分）
为了比较注射A, B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B。
（Ⅰ）甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同组的概率；
（Ⅱ）下表1和表2分别是注射药物A和B后的试验结果.（疱疹面积单位：mm2）
表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表
（ⅰ）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；
（ⅱ）完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”.
表3：
（19）（本小题满分12分）
已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=½AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.
（Ⅰ）证明：CM⊥SN；
（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小.
(20)（本小题满分12分）
设椭圆C： 的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o, .
(I) 求椭圆C的离心率；
(II) 如果|AB|= ，求椭圆C的方程.
（21）（本小题满分12分）
已知函数
（I）讨论函数 的单调性；
（II）设 .如果对任意 ， ，求 的取值范围。
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所作的第一题记分。作答时用2B铅笔在答题卡上吧所选题目对应题号下方的方框涂黑。
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图， 的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E
（I）证明：
（II）若 的面积 ，求 的大小。
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知P为半圆C： （ 为参数， ）上的点，点A的坐标为（1,0），
O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧 的长度均为 。
（I）以O为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；
（II）求直线AM的参数方程。
（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知 均为正数，证明： ，并确定 为何值时，等号成立。
参考答案
一、选择题
（1）D （2）A （3）B （4）D （5）C （6）B
（7）B （8）C （9）D （10）D （11）C （12）A
二、填空题
（13）-5 （14）（3,8） （15） （16）
（17）解：
（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得
即
由余弦定理得
故 ，A=120° ……6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1。 ……12分
（18）解：
（Ⅰ）甲、乙两只家兔分在不同组的概率为
……4分
（Ⅱ）（i）
图Ⅰ注射药物A后皮肤疱疹面积的频率分布直方图 图Ⅱ注射药物B后皮肤疱疹面积的频率分布直方图
可以看出注射药物A后的疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物B后的疱疹面积的中位数在70至75之间，所以注射药物A后疱疹面积的中位数小于注射药物B后疱疹面积的中位数。 ……8分
（ii）表3：
由于K2＞10.828，所以有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积于注射药物B后的疱疹面积有差异”。 ……12分
（19）证明：
设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图。
则P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0, ），N（ ,0,0），S（1, ,0）.……4分
（Ⅰ） ,
因为 ，
所以CM⊥SN ……6分
（Ⅱ） ,
设a=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，
则 ……9分
因为
所以SN与片面CMN所成角为45°。 ……12分
（20）解：
设 ，由题意知 ＜0， ＞0.
（Ⅰ）直线l的方程为 ，其中 .
联立 得
解得
因为 ，所以 .
即
得离心率 . ……6分
（Ⅱ）因为 ，所以 .
由 得 .所以 ，得a=3， .
椭圆C的方程为 . ……12分
（21）解：
（Ⅰ） 的定义域为（0，+∞）. .
当 时， ＞0，故 在（0，+∞）单调增加；
当 时， ＜0，故 在（0，+∞）单调减少；
当-1＜ ＜0时，令 =0，解得 .
则当 时， ＞0； 时， ＜0.
故 在 单调增加，在 单调减少.
（Ⅱ）不妨假设 ，而 ＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，从而
，
等价于
， ①
令 ，则
①等价于 在（0，+∞）单调减少，即
.
从而
故a的取值范围为（-∞，-2]. ……12分
（22）证明：
（Ⅰ）由已知条件，可得
因为 是同弧上的圆周角，所以
故△ABE∽△ADC. ……5分
（Ⅱ）因为△ABE∽△ADC，所以 ，即AB•AC=AD•AE.
又S= AB•ACsin ，且S= AD•AE，故AB•ACsin = AD•AE.
则sin =1，又 为三角形内角，所以 =90°. ……10分
（23）解：
（Ⅰ）由已知，M点的极角为 ，且M点的极径等于 ，
故点M的极坐标为（ ， ）. ……5分
（Ⅱ）M点的直角坐标为（ ），A（0,1），故直线AM的参数方程为
（t为参数） ……10分
（24）证明：
（证法一）
因为a，b，c均为正数，由平均值不等式得
①
所以 ② ……6分
故 .
又 ③
所以原不等式成立. ……8分
当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立。当且仅当 时，③式等号成立。
即当且仅当a=b=c= 时，原式等号成立。 ……10分
（证法二）
因为a，b，c均为正数，由基本不等式得
所以 ①
同理 ② ……6分
故
③
所以原不等式成立. ……8分
当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立，当且仅当a=b=c， 时，③式等号成立。
即当且仅当a=b=c= 时，原式等号成立。 ……10分 |
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发表于 2011-11-15 21:09:09
