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2010年高考试题——数学（文史类）（福建卷）
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合 ， ，则 等于
A． B． C． D．
2．计算1－2 22．5°的结果等于
A． B． C． D．
3．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其侧面积等于
A． B．2
C． D．6
4． 是虚数单位， 等于
A． 是 B． C．1 D．-1
5．若 ，且 ，则 的最小值等于
A．2 B．3 C．5 D．9
6．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的 值等于
A．2 B．3 C．4 D．5
7．函数 的零点个数为
A．2 B．2 C．1 D．0
8．若向量 ，则“ ”是“ ”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
9．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是
A．91．5和91．5 B．91．5和92
C．91和91．5 D．92和92
10．将函数 的图像向左平移 个单位，若所得图像与原图像重合，则 的值不可能等于
A．4 B．6 C．8 D．12
11．若点 和点 分别为椭圆 的中心和左焦点，点 为椭圆上点的任意一点，则 的最大值为
A．2 B．3 C．6 D．8
12．设非空集合 满足：当 时，有 。给出如下三个命题：
①若 ，则 ；②若 ，则 ；③若 ，则 。
其中正确命题的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
第II卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡的相应位置。
13．若双曲线 的渐近线方程为 ，则 等于 。
14．将容量为 的样本中的数据分成6组，绘制频率分步直方图。若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频率之和等于27，则 等于 。
15．对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含Ω，则称Ω为平面上的凸集。给出平面上4个点集的图形如下（阴影区域及其边界）：
其中为凸集的是 （写出所有凸集相应图形的序号）。
16．观察下列等式：
① ；
② ；
③ ；
④ ；
⑤ ；
可以推测， 。
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
数列 中， ，前 项和 满足 。
（Ⅰ）求数列数列 的通项公式 ，以及前 项和 ；
（Ⅱ）若 ， ， 成等差数列，求实数 的值。
18．（本小题满分12分）
设平面向量 ， ，其中 。
（Ⅰ）请列出有序数组 的所有可能结果；
（Ⅱ）记“使得 ⊥ 成立的 ”为事件 ，求事件 发生的概率。
19．（本小题满分12分）
已知抛物线 ： 过点 。
（Ⅰ）求抛物线 的方程，并求其准线方程；
（Ⅱ）是否存在平行于 （ 为坐标原点）的直线 ，使得直线 与抛物线 有公共点，且直线 与 的距离等于 ？若存在，求出直线 的方程；若不存在，说明理由。
20．（本小题满分12分）
如图，在长方体 中， 分别是棱 上的点（点 与 不重合），且 ∥ 。过 的平面与棱 相交，交点分别为 。
（Ⅰ）证明： ∥平面 ；
（Ⅱ）设 。在长方体 内随机选取一点，记该点取自于几何体 内的概率为 ，当点 分别在棱 上运动且满足 时，求 的最小值。
21．（本小题满分12分）
某港口 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上。在小艇出发时，轮船位于港口的 北偏西30°且与该港口相距20海里的 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过 小时与轮船相遇。
（Ⅰ）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
（Ⅱ）为保证小艇在30分钟内（含30分钟）能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；
（Ⅲ）是否存在 ，使得小艇以 海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定 的取值范围；若不存在，请说明理由。
22．（本小题满分14分）
已知函数 的图象在点 处的切线方程为 。
（Ⅰ）求实数 的值；
（Ⅱ）设 是 上的增函数。
（ⅰ）求实数 的最大值；
（ⅱ）当 取最大值时，是否存在点 ，使得过点 的直线能与曲线 围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由。
参考答案
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．
1．A 2．B 3．D 4．C 5．B 6．C
7．B 8．A 9．A 10．B 11．C 12．D
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算． 每小题4分，满分16分．
13．1 14．60 15．②③ 16．962
三、解答题：本大题共6小题；共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．本小题主要考查数列、等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想．满分12分．
解：(Ⅰ)由S n+1 －S n =（ ）n + 1得 (n∈N *)；
又 ，故 (n∈N *)
从而 (n∈N *)．
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 ， ， ．
从而由S 1，t（S 1+ S 2），3（S 2+ S 3）成等差数列可得：
，解得t=2．
18．本小题主要考查概率、平面向量等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查化归与转化思想、必然与或然思想．满分12分．
解：(Ⅰ)有序数组（m,n）的吧所有可能结果为：
（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），共16个．
(Ⅱ)由 得 ，即 ．
由于 ｛1,2,3,4｝，故事件A包含的基本条件为（2,1）和（3,4），共2个．又基本事件的总数为16，故所求的概率 ．
19．本小题主要考查直线、抛物线等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。满分12分。
解：（Ⅰ）将 代入 ，得 ，所以 。
故所求的抛物线 的方程为 ，其准线方程为 。
（Ⅱ）假设存在符合题意的直线l ，其方程为 ，
由 ，得 。
因为直线 与抛物线 有公共点，所以得 ，解得 。
另一方面，由直线 与 的距离 ，可得 ，解得 。
因为 ， ，所以符合题意的直线 存在，其方程为 。
20．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概念等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。满分12分
解法一：
（Ⅰ）证明：在长方体 中， ∥ 。
又∵ ∥ ，∴ ∥ ．
∵ ，
∴ ∥平面 。
（Ⅱ）设 ，则长方体 的体积 ，
几何体 的体积 。
∵ ，
∴ ，当且仅当 时等号成立。
从而， 。
故 ，当且仅当 时等号成立。
∴， 的最小值等于 。
解法二：
（Ⅰ）同解法一。
（Ⅱ）设 ，则长方体 的体积 ，
几何体 的体积
。
设 （0°≤ ≤90°），则 ， 。
故 ，当且仅当 即 45°时等号成立。
从而 。
∴ ，当且仅当 即 45°时等号成立。
所以， 的最小值等于 。
21．本小题主要考查解三角形、二次函数等基础知识，考查推断论证能力、抽象概括能力、运算求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．满分12分．
解法一：（Ⅰ）设相遇时小艇的航行距离为 海里，则
故 时， ， 。
即，小艇以 海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小。
（Ⅱ）设小艇与轮船在 处相遇
由题意可知， ，
化简得： 。
由于 ，即 ，
所以当 时，
取得最小值 ，
即小艇航行速度的最小值为 海里/小时。
（Ⅲ）由（Ⅱ）知 ，设 ，
于是 。（*）
小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于方程（*）应有两个不等正根，即：
解得 。
所以 的取值范围是 。
解法二：
（Ⅰ）若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向。
设小艇与轮船在C处相遇。
在 中， ，
。
又 ,
此时，轮船航行时间 ， 。
即，小艇以 海里/小时的速度行驶，相遇时小艇的航行距离最小。
（Ⅱ）同解法一
（Ⅲ）同解法一
22. 本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推力论证能力、抽象概况能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转换思想、分类与整合思想。满分14分。
解法一：
（Ⅰ）由 及题设得 即 。
（Ⅱ）（ⅰ）由
得 。
是 上的增函数， 在 上恒成立，
即 在 上恒成立。
设 。
，
即不等式 在 上恒成立
当 时，不等式 在 上恒成立。
当 时，设 ，
因为 ，所以函数 在 上单调递增，
因此 。
，即 。
又 ，故 。
综上， 的最大值为3。
（ⅱ）由（ⅰ）得 ，其图像关于点 成中心对称。
证明如下：
因此， 。
上式表明，若点 为函数 在图像上的任意一点，则点 也一定在函数 的图像上。而线段 中点恒为点 ，由此即知函数 的图像关于点 成中心对称。
这也就表明，存在点 ，使得过点 的直线若能与函数 的图像围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等。
解法二：
（Ⅰ）同解法一。
（Ⅱ）（ⅰ）由
得 。
是 上的增函数， 在 上恒成立，
即 在 上恒成立。
设 。
，
即不等式 在 上恒成立。
所以 在 上恒成立。
令 ， ，可得 ，故 ，即 的最大值为3．
（ⅱ）由（ⅰ）得 ，
将函数 的图像向左平移1个长度单位，再向下平移 个长度单位，所得图像相应的函数解析式为 ， 。
由于 ，所以 为奇函数，故 的图像关于坐标原点成中心对称。
由此即得，函数 的图像关于点 成中心对称。
这也表明，存在点 ，是得过点 的直线若能与函数 的图像围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等。 |
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发表于 2011-11-15 20:50:18
