2010年普通高等学校招生统一考试（福建卷） 数学试题（理工农医类）

高放

2010年普通高等学校招生统一考试（福建卷）
数学试题（理工农医类）
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．计算 43° 13°  43° 13°的结果等于
A．                 B．                 C．                 D．
2．以抛物线 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为
A．            B．
C．              D．
3．设等差数列 前 项和为  。若 ， ，则
当 取最小值时， 等于
A．6             B．7              C．8               D．9
4．函数 的零点个数为
A．0            B．1              C．2             D．3
5．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的 值等于            
A．2              B．3               C．4             D．5
6．如图，若 是长方体 被平面 截去几何体
后得到的几何体，其中 为线段 上异于 的点，
为线段 上异于 的点，且 ∥ ，则下列结论中不
正确的是
A． ∥        B．四边形 是矩形
C． 是棱柱        D． 是棱台
7．若点 和点 分别为双曲线 （ ）的中心和左焦点，点 为双曲线右支上的任意一点，则 的取值范围为
A．[3-  ，  ）     B．[3+  ，  ）  C．[ ，  ）  D．[ ，  ）
8．设不等式组 所表示的平面区域是 ，平面区域 与 关于直线 对称。对于 中的任意点 与 中的任意点 ， 的最小值等于
A．                              B．4                             C．                             D．2
9．对于复数 ，若集合 具有性质“对任意 ，必有 ”，则当 时， 等于
A．1                            B．-1                            C．0                             D．
10．对于具有相同定义域 的函数 和 ，若存在函数 （ 为常数），对任给的正数 ，存在相应的 ，使得当 且 时，总有 则称直线  为曲线 与 的“分渐近线”。给出定义域均为D= 的四组函数如下：
① ， ；② ，  ；
③  ，  ；④ ， 。
其中，曲线 与 存在“分渐近线”的是
A．①④                 B．②③                      C．②④                       D．③④
第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。
11．在等比数列 中，若公比 ，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式             。   
12．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于            。



13．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮。假设某选手正确回答每个问题的概率都是0．8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于            。
14．已知函数 和 的图像的对称轴完全相同。若 ，则 的取值范围是            。
15．已知定义域为 的函数 满足：（1）对任意 ，恒有 成立；（2）当 时 。给出结论如下：
①对任意 ，有 ；②函数 的值域为 ；③存在 ，使得 ；④“函数 在区间 上单调递减”的充要条件是“存在 ，使得 ”。
其中所有正确结论的序号是            。
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．（本小题满分13分）
设 是不等式 的解集，整数 。
（Ⅰ）记“使得 成立的有序数组 ”为事件 ，试列举 包含的基本事件；
（Ⅱ）设 ，求 的分布列及其数学期望 。
17．（本小题满分13分）
已知中心在坐标原点 的椭圆 经过点 ，且点 为其右焦点。
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）是否存在平行于 的直线 ，使得直线 与椭圆 有公共点，且直线 与 的距离等于4？若存在，求出直线 的方程；若不存在，说明理由。
18．（本小题满分13分）
如图，圆柱 内有一个三棱柱 ，三棱柱的
底面为圆柱底面的内接三角形，且 是圆 的直径。
（Ⅰ）证明：平面 ⊥平面 ；
（Ⅱ）设 。在圆柱 内随机选取一点，记该点取自于三棱柱 内的概率为 。
（ⅰ）当点 在圆周上运动时，求 的最大值；
（ⅱ）记平面 与平面 所成的角为 （0°＜ ≤90°）。当 取最大值时，求 的值。
19．（本小题满分13分）
某港口 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口 北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，经过 小时与轮船相遇。
（Ⅰ）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
（Ⅱ）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。
20．（本小题满分14分）
（Ⅰ）已知函数 ，其图象记为曲线 。
（ⅰ）求函数 的单调区间；
（ⅱ）证明：若对于任意非零实数 ，曲线 与其在点 处的切线交于另一点 ，曲线 与其在点 处的切线交于另一点 ，线段 、 与曲线 所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则 为定值；
（Ⅱ）对于一般的三次函数 ，请给出类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题，并予以证明。
21．本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分。如果多做，则按所做的前两题记分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。
（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵 ， ，且 。
（Ⅰ）求实数 的值；（Ⅱ）求直线 在矩阵 所对应的线性变换作用下的像的方程。
（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），在极坐标系（与直角坐标系 取相同的长度单位，且以原点 为极点，以 轴正半轴为极轴）中，圆 的方程为 。
（Ⅰ）求圆 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设圆 与直线 交于点 。若点 的坐标为（3， ），求 。
（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲
已知函数 。
（Ⅰ）若不等式 的解集为 ，求实数 的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若 对一切实数 恒成立，求实数 的取值范围。




















数学试题（理工农医类）参考答案

一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题5分，满分50分。
1．A    2．D    3．A    4．C    5．C    6．D    7．B    8．B     9．B    10．C
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题4分，满分20分。
11．        12．       13．      14．      15．①②④
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．本小题主要考查概率与统计、不等式等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想。满分13分。
解：（I）由 得 ，即
       由于 ， 且 ，所以A包含的基本事件为：
        ， ， ， ，
（II）由于 的所有不同取值为-2，-1，0，1，2，3，
所以 的所有不同取值为0，1，4，9，
且有 ， ， ，
故 的分布列为：

0        1        4        9
P         




所以
17．本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。满分13分。
解法一：
（I）依题意，可设椭圆C的方程为 （a>b>0），且可知左焦点为
从而有                           解得   
       ，         
又 ，所以 ，故椭圆C的方程为  
（II）假设存在符合题意的直线 ，其方程为

由               得
   
因为直线 与椭圆C有公共点，所以 ，
解得
另一方面，由直线OA与 的距离 可得 ，从而 。
由于 ，所以符合题意的直线 不存在。
解法二：
（I）依题意，可设椭圆C的方程为 （a>b>0），且有：
    ， 解得 或 （舍去）。从而

（II）同解法一
18．本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何体的体积几何概型等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。满分13分。
解法一 ：
（I） 平面 ， 平面 ，     
是圆O的直径，  
又 ，  平面
而 平面 ，
所以平面  平面 。
（II）（i）设圆柱的底面半径为r，则
     故三棱柱 的体积
      
     又
      
当且仅当 时等号成立。
从而，
而圆柱的体积 ，
故 ，当且仅当
，即 时等号成立。
所以， 的最大值等于
（ii）由（i）可知， 取最大值时，
于是，以 为坐标原点，建立空间直角坐标系 （如图），
则 ， ，
平面 ，  是平面 的一个法向量
设平面 的法向量 ，
由 得 。故 。
取 ，得平面 的一个法向量为
，

解法二：
（I）同解法一
（II）（i）设圆柱的底面半径为 ，则 ，
     故三棱柱 的体积  
     设 ，
     则 ， ，
     由于 ，当且仅当 即 时等号成立，故
     而圆柱的体积 ，
     故 ，当且仅当 即 时等号成立。
     所以， 的最大值等于
     （ii）同解法一
解法三：
（I）同解法一
（II）（i）设圆柱的底面半径 ，则 ，故圆柱的体积
     因为 ，所以当 取得最大值时， 取得最大值。
     又因为点C在圆周上运动，所以当 时， 的面积最大。进而，三棱柱 的体积最大，且其最大值为
     故 的最大值等于
（ii）同解法一
19．本小题主要考查解三角形、二次函数等基础知识，绿茶推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力、英语意识，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。满分13分。
解法一：
（I）设相遇时小艇航行的距离为S海里，则
     
      =
      =
    故当 时， ，此时
    即，小艇以 海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小。
    （II）设小艇与轮船在B出相遇，则
     
    故
     ，
    即 ，解得
    又 时，
    故 时，t取最小值，且最小值等于
    此时，在 中，有 ，故可设计寒星方案如下：
    航行方向为北偏东 ，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇
解法二：
（I）若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向。
    设小艇与轮船在C处相遇。
    在 中， ，
    又 ，  
    此时，轮船航行时间 ，
    即，小艇以 海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小。


（II）猜想 时，小艇能以最短时间与轮船在D出相遇，此时
    又 ，所以 ，解得
    据此可设计航行方案如下：
    航行方向为北偏东 ，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇
    证明如下：
    如图，由（I）得 ， ，
    故 ，且对于线段 上任意点P，
    有   而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，
    故小艇与轮船不可能在A，C之间（包含C）的任意位置相遇。
    设 ，则在 中， ，
    由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为
     和
    所以，
    由此可得，
    又 ，故
    从而，
    由于 时， 取得最小值，且最小值为
    于是，当 时， 取得最小值，且最小值为
解法三：
（I）同解法一或解法二
（II）设小艇与轮船在B处相遇。依据题意得：
     ，
    （
（1）        若 ，则由

  =
得
从而， ，
①        当 时，
令 ，则 ， ，当且仅当 即 时等号成立。
②当 时，同理可得
由①、②得，当 时，
（2）        若 ，则
综合（1）、（2）可知，当 时，t取最小值，且最小值等于
此时，在 中， ，故可设计航行方案如下：
航行方向为北偏东 ，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。
20．本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想。满分14分。
解法一：
（Ⅰ）（i）有 得 ．
当 和( ， )时， ；
当 时， 。
因此， 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 。
（ⅱ）曲线 在点 处的切线方程为
，
即 。
由
得
即 ，
解得 或 ，
故 。
进而有

用 代替 ，重复上述计算过程，可得 和 。
又 ，所以 ，因此有 。
（Ⅱ）记函数 的图像为曲线 ，类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题为：若对于任意不等于 的实数 ，曲线 与其在点 处的切线交于另一点 ，曲线 与其在点 处的切线交于另一点 线段 、 与曲线 所围成封闭图形的面积分别记为 ，则 为定值。
证明如下：
因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线 的对称中心 平移至坐标原点，因而不妨设 ，且 。
类似（Ⅰ）（ⅱ）的计算可得 ，
故 。

解法二：
（Ⅰ）同解法一。
（Ⅱ）记函数 的图像为曲线 ，类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题为：若对于任意不等于 的实数 ，曲线 与其在点 处的切线交于另一点 ，曲线 与其在点 处的切线交于另一点 线段 、 与曲线 所围成封闭图形的面积分别记为 ，则 为定值。
证明如下：
函数 得 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 。
由 得 ，
∴ 或 ，即 ，故

用 代替 ，重复上述计算过程，可得 和 。
又 且x2=
所以
故

21．（1）选修4—2：矩阵与变换
本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力。满分7分。
解法一：
（Ⅰ）由题设得： 解得
（Ⅱ）因为矩阵 为对应的线性变换将直线变成直线（或点），所以可取直线 上的两点（0，0），（1，3），由 ， 得：点（0，0），（1，3）在矩阵 所对应的线性变换作用下的像是点（0，0），（-2，2）。
从而，直线 在矩阵 所对应的线性变换作用下的像的方程为 。
解法二：
（Ⅰ）同解法一。
（Ⅱ）设直线 上的任意点 在矩阵 所对应的线性变换作用下的像是点 ，由 得 ，即点 必在直线 上。
由 的任意性可知，直线 在矩阵 所对应的线性变换作用下的像的方程为 。
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
本小题主要考查直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力。满分7分。
解法一：
（Ⅰ）由 ，得 ，即 。
（Ⅱ）将 的参数方程代入圆 的直角坐标方程，得 ，
         。
        由于 。故可设 是上述方程的两个实根，
        所以
        又直线 过点 ，
故由上式及 的几何意义得 。
解法二：
（Ⅰ）同解法一。
（Ⅱ）因为圆 的圆心为（0， ），半径 ，直线 的普通方程为： 。
由 得 。
解得： 或
不妨设A（1，2+ ） ，B（2，1+ ），又点P的坐标为（3， ），
        故 。
（3）选修4—5：不等式选讲
本小题主要考查绝对值的意义、绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力。满分7分。
解法一：
（Ⅰ）由 得 ，解得 。
        又已知不等式 的解集为 ，所以 解得 。

（Ⅱ）当 时， 。设 ，于是
         
        所以当 时， ；
        当 时， ；
        当 时， 。
综上可得， 的最小值为5。
从而，若 即 对一切实数 恒成立，则 的取值范围为(- ，5]。
解法二：
（Ⅰ）同解法一。
（Ⅱ）当 时， 。设 。
由 （当且仅当 时等号成立）得， 的最小值为5。
从而，若 即 对一切实数 恒成立，则 的取值范围为(- ，5]。